Theorem icossico2 45012

Description: Condition for a closed-below, open-above interval to be a subset of a closed-below, open-above interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
icossico2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icossico2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
icossico2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
icossico2	⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ⊆ (𝐵[,)𝐶))

Proof of Theorem icossico2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icossico2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		icossico2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
3		icossico2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
4	2	xrleidd 13163	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐶)
5		icossico 13426	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐶)) → (𝐴[,)𝐶) ⊆ (𝐵[,)𝐶))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ⊆ (𝐵[,)𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  ℝ^*cxr 11277   ≤ cle 11279  [,)cico 13358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-ico 13362

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  45226