Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupvaluz3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupvaluz3 44009
Description: Alternate definition of lim inf for an extended real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupvaluz3.k 𝑘𝜑
limsupvaluz3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupvaluz3.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupvaluz3.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupvaluz3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsupvaluz3
StepHypRef Expression
1 limsupvaluz3.k . 2 𝑘𝜑
2 limsupvaluz3.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
32fvexi 6854 . . 3 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑍 ∈ V)
5 limsupvaluz3.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65zred 12604 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
85, 2uzinico3 43771 . . . . . 6 (𝜑𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
98eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
117, 10eleqtrd 2840 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘𝑍)
12 limsupvaluz3.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1311, 12syldan 591 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
141, 4, 6, 13limsupval4 44005 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  Vcvv 3444  cin 3908  cmpt 5187  cfv 6494  (class class class)co 7354  +∞cpnf 11183  *cxr 11185  cz 12496  cuz 12760  -𝑒cxne 13027  [,)cico 13263  lim supclsp 15349  lim infclsi 43962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-sup 9375  df-inf 9376  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-q 12871  df-xneg 13030  df-ico 13267  df-limsup 15350  df-liminf 43963
This theorem is referenced by:  limsupvaluz4  44011
  Copyright terms: Public domain W3C validator