Theorem limsupvaluz3 45419

Description: Alternate definition of lim inf for an extended real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupvaluz3.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupvaluz3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupvaluz3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupvaluz3.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupvaluz3	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsupvaluz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupvaluz3.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		limsupvaluz3.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	fvexi 6915	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5		limsupvaluz3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	zred 12718	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
8	5, 2	uzinico3 45181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
9	8	eqcomd 2732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
10	9	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
11	7, 10	eleqtrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
12		limsupvaluz3.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13	11, 12	syldan 589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	1, 4, 6, 13	limsupval4 45415	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ∩ cin 3946   ↦ cmpt 5236  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  +∞cpnf 11295  ℝ^*cxr 11297  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12874  -_𝑒cxne 13143  [,)cico 13380  lim supclsp 15472  lim infclsi 45372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-xneg 13146  df-ico 13384  df-limsup 15473  df-liminf 45373

This theorem is referenced by:  limsupvaluz4  45421