Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvaluz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvaluz 43927
Description: Alternate definition of lim inf for an extended real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvaluz.k 𝑘𝜑
liminfvaluz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfvaluz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfvaluz.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfvaluz (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem liminfvaluz
StepHypRef Expression
1 liminfvaluz.k . 2 𝑘𝜑
2 liminfvaluz.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
32fvexi 6853 . . 3 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑍 ∈ V)
5 liminfvaluz.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65zred 12565 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
85, 2uzinico3 43695 . . . . . 6 (𝜑𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
98eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
117, 10eleqtrd 2840 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘𝑍)
12 liminfvaluz.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1311, 12syldan 591 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
141, 4, 6, 13liminfval3 43925 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  Vcvv 3443  cin 3907  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7351  +∞cpnf 11144  *cxr 11146  cz 12457  cuz 12721  -𝑒cxne 12984  [,)cico 13220  lim supclsp 15311  lim infclsi 43886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-xneg 12987  df-ico 13224  df-limsup 15312  df-liminf 43887
This theorem is referenced by:  liminfvaluz2  43930  liminfvaluz3  43931
  Copyright terms: Public domain W3C validator