Theorem liminfvaluz 45093

Description: Alternate definition of lim inf for an extended real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvaluz.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
liminfvaluz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfvaluz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfvaluz.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfvaluz	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem liminfvaluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfvaluz.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		liminfvaluz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	fvexi 6905	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5		liminfvaluz.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	zred 12682	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
8	5, 2	uzinico3 44861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
9	8	eqcomd 2733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
11	7, 10	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
12		liminfvaluz.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13	11, 12	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	1, 4, 6, 13	liminfval3 45091	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  +∞cpnf 11261  ℝ^*cxr 11263  ℤcz 12574  ℤ_≥cuz 12838  -_𝑒cxne 13107  [,)cico 13344  lim supclsp 15432  lim infclsi 45052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-xneg 13110  df-ico 13348  df-limsup 15433  df-liminf 45053

This theorem is referenced by:  liminfvaluz2  45096  liminfvaluz3  45097