Theorem xrltso 13067

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13065	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13066	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5577	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5539  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13068  xrlttri3  13069  xrltne  13089  xmullem  13191  xmulasslem  13212  supxr  13240  supxrcl  13242  supxrun  13243  supxrmnf  13244  supxrunb1  13246  supxrunb2  13247  supxrub  13251  supxrlub  13252  xrsupssd  13260  infxrcl  13261  infxrlb  13262  infxrgelb  13263  xrinf0  13266  infmremnf  13271  limsupval  15409  limsupgval  15411  limsupgre  15416  ramval  16948  ramcl2lem  16949  prdsdsfn  17397  prdsdsval  17410  imasdsfn  17447  imasdsval  17448  prdsmet  24326  xpsdsval  24337  prdsbl  24447  tmsxpsval2  24495  nmoval  24671  xrge0tsms2  24792  metdsval  24804  iccpnfhmeo  24911  xrhmeo  24912  ovolval  25442  ovolf  25451  ovolctb  25459  itg2val  25697  mdegval  26036  mdegldg  26039  mdegxrf  26041  mdegcl  26042  aannenlem2  26305  nmooval  30850  nmoo0  30878  nmopval  31943  nmfnval  31963  nmop0  32073  nmfn0  32074  xrge0infssd  32851  infxrge0lb  32854  infxrge0glb  32855  infxrge0gelb  32856  xrsclat  33103  xrge0iifiso  34112  esumval  34223  esumnul  34225  esum0  34226  gsumesum  34236  esumsnf  34241  esumpcvgval  34255  esum2d  34270  omsfval  34471  omsf  34473  oms0  34474  omssubaddlem  34476  omssubadd  34477  mblfinlem2  37903  ovoliunnfl  37907  voliunnfl  37909  volsupnfl  37910  itg2addnclem  37916  radcnvrat  44664  infxrglb  45693  xrgtso  45698  infxr  45719  infxrunb2  45720  infxrpnf  45798  limsup0  46046  limsuppnfdlem  46053  limsupequzlem  46074  supcnvlimsup  46092  limsuplt2  46105  liminfval  46111  limsupge  46113  liminfgval  46114  liminfval2  46120  limsup10ex  46125  liminf10ex  46126  liminflelimsuplem  46127  cnrefiisplem  46181  etransclem48  46634  sge0val  46718  sge0z  46727  sge00  46728  sge0sn  46731  sge0tsms  46732  ovnval2  46897  smflimsuplem1  47172  smflimsuplem2  47173  smflimsuplem4  47175  smflimsuplem7  47178