MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltso 12221
Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltso < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri 12219 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥)))
2 xrlttr 12220 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
31, 2isso2i 5265 1 < Or ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   Or wor 5232  *cxr 10362   < clt 10363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368
This theorem is referenced by:  xrlttri2  12222  xrlttri3  12223  xrltne  12243  xmullem  12343  xmulasslem  12364  supxr  12392  supxrcl  12394  supxrun  12395  supxrmnf  12396  supxrunb1  12398  supxrunb2  12399  supxrub  12403  supxrlub  12404  infxrcl  12412  infxrlb  12413  infxrgelb  12414  xrinf0  12417  infmremnf  12422  limsupval  14546  limsupgval  14548  limsupgre  14553  ramval  16045  ramcl2lem  16046  prdsdsfn  16440  prdsdsval  16453  imasdsfn  16489  imasdsval  16490  prdsmet  22503  xpsdsval  22514  prdsbl  22624  tmsxpsval2  22672  nmoval  22847  xrge0tsms2  22966  metdsval  22978  iccpnfhmeo  23072  xrhmeo  23073  ovolval  23581  ovolf  23590  ovolctb  23598  itg2val  23836  mdegval  24164  mdegldg  24167  mdegxrf  24169  mdegcl  24170  aannenlem2  24425  nmooval  28143  nmoo0  28171  nmopval  29240  nmfnval  29260  nmop0  29370  nmfn0  29371  xrsupssd  30042  xrge0infssd  30044  infxrge0lb  30047  infxrge0glb  30048  infxrge0gelb  30049  xrsclat  30196  xrge0iifiso  30497  esumval  30624  esumnul  30626  esum0  30627  gsumesum  30637  esumsnf  30642  esumpcvgval  30656  esum2d  30671  omsfval  30872  omsf  30874  oms0  30875  omssubaddlem  30877  omssubadd  30878  mblfinlem2  33936  ovoliunnfl  33940  voliunnfl  33942  volsupnfl  33943  itg2addnclem  33949  radcnvrat  39291  infxrglb  40296  xrgtso  40301  infxr  40323  infxrunb2  40324  infxrpnf  40413  limsup0  40666  limsuppnfdlem  40673  limsupequzlem  40694  supcnvlimsup  40712  limsuplt2  40725  liminfval  40731  limsupge  40733  liminfgval  40734  liminfval2  40740  limsup10ex  40745  liminf10ex  40746  liminflelimsuplem  40747  cnrefiisplem  40795  etransclem48  41238  sge0val  41322  sge0z  41331  sge00  41332  sge0sn  41335  sge0tsms  41336  ovnval2  41501  smflimsuplem1  41768  smflimsuplem2  41769  smflimsuplem4  41771  smflimsuplem7  41774
  Copyright terms: Public domain W3C validator