Theorem xrltso 13120

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13118	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13119	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5624	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5588  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13121  xrlttri3  13122  xrltne  13142  xmullem  13243  xmulasslem  13264  supxr  13292  supxrcl  13294  supxrun  13295  supxrmnf  13296  supxrunb1  13298  supxrunb2  13299  supxrub  13303  supxrlub  13304  infxrcl  13312  infxrlb  13313  infxrgelb  13314  xrinf0  13317  infmremnf  13322  limsupval  15418  limsupgval  15420  limsupgre  15425  ramval  16941  ramcl2lem  16942  prdsdsfn  17411  prdsdsval  17424  imasdsfn  17460  imasdsval  17461  prdsmet  23876  xpsdsval  23887  prdsbl  24000  tmsxpsval2  24048  nmoval  24232  xrge0tsms2  24351  metdsval  24363  iccpnfhmeo  24461  xrhmeo  24462  ovolval  24990  ovolf  24999  ovolctb  25007  itg2val  25246  mdegval  25581  mdegldg  25584  mdegxrf  25586  mdegcl  25587  aannenlem2  25842  nmooval  30016  nmoo0  30044  nmopval  31109  nmfnval  31129  nmop0  31239  nmfn0  31240  xrsupssd  31972  xrge0infssd  31974  infxrge0lb  31977  infxrge0glb  31978  infxrge0gelb  31979  xrsclat  32181  xrge0iifiso  32915  esumval  33044  esumnul  33046  esum0  33047  gsumesum  33057  esumsnf  33062  esumpcvgval  33076  esum2d  33091  omsfval  33293  omsf  33295  oms0  33296  omssubaddlem  33298  omssubadd  33299  mblfinlem2  36526  ovoliunnfl  36530  voliunnfl  36532  volsupnfl  36533  itg2addnclem  36539  radcnvrat  43073  infxrglb  44050  xrgtso  44055  infxr  44077  infxrunb2  44078  infxrpnf  44156  limsup0  44410  limsuppnfdlem  44417  limsupequzlem  44438  supcnvlimsup  44456  limsuplt2  44469  liminfval  44475  limsupge  44477  liminfgval  44478  liminfval2  44484  limsup10ex  44489  liminf10ex  44490  liminflelimsuplem  44491  cnrefiisplem  44545  etransclem48  44998  sge0val  45082  sge0z  45091  sge00  45092  sge0sn  45095  sge0tsms  45096  ovnval2  45261  smflimsuplem1  45536  smflimsuplem2  45537  smflimsuplem4  45539  smflimsuplem7  45542