Theorem xrltso 13251

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13249	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13250	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5596	1 ⊢ < Or ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   Or wor 5558  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329

This theorem is used by:  xrlttri2  13252  xrlttri3  13253  xrltne  13273  xmullem  13375  xmulasslem  13396  supxr  13424  supxrcl  13426  supxrun  13427  supxrmnf  13428  supxrunb1  13430  supxrunb2  13431  supxrub  13435  supxrlub  13436  xrsupssd  13444  infxrcl  13445  infxrlb  13446  infxrgelb  13447  xrinf0  13450  infmremnf  13455  limsupval  15621  limsupgval  15623  limsupgre  15628  ramval  17166  ramcl2lem  17167  prdsdsfn  17616  prdsdsval  17629  imasdsfn  17666  imasdsval  17667  prdsmet  24669  xpsdsval  24680  prdsbl  24790  tmsxpsval2  24838  nmoval  25014  xrge0tsms2  25135  metdsval  25147  iccpnfhmeo  25246  xrhmeo  25247  ovolval  25774  ovolf  25783  ovolctb  25791  itg2val  26029  mdegval  26361  mdegldg  26364  mdegxrf  26366  mdegcl  26367  aannenlem2  26638  nmooval  31347  nmoo0  31375  nmopval  32440  nmfnval  32460  nmop0  32570  nmfn0  32571  xrge0infssd  33335  infxrge0lb  33338  infxrge0glb  33339  infxrge0gelb  33340  xrsclat  33554  xrge0iifiso  34549  esumval  34660  esumnul  34662  esum0  34663  gsumesum  34673  esumsnf  34678  esumpcvgval  34692  esum2d  34707  omsfval  34909  omsf  34911  oms0  34912  omssubaddlem  34914  omssubadd  34915  mblfinlem2  38544  ovoliunnfl  38548  voliunnfl  38550  volsupnfl  38551  itg2addnclem  38557  radcnvrat  45257  infxrglb  46296  xrgtso  46301  infxr  46322  infxrunb2  46323  infxrpnf  46400  limsup0  46648  limsuppnfdlem  46655  limsupequzlem  46676  supcnvlimsup  46694  limsuplt2  46707  liminfval  46713  limsupge  46715  liminfgval  46716  liminfval2  46722  limsup10ex  46727  liminf10ex  46728  liminflelimsuplem  46729  cnrefiisplem  46783  etransclem48  47236  sge0val  47320  sge0z  47329  sge00  47330  sge0sn  47333  sge0tsms  47334  ovnval2  47499  smflimsuplem1  47774  smflimsuplem2  47775  smflimsuplem4  47777  smflimsuplem7  47780