Theorem xrltso 13203

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13201	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13202	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5644	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5606  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13204  xrlttri3  13205  xrltne  13225  xmullem  13326  xmulasslem  13347  supxr  13375  supxrcl  13377  supxrun  13378  supxrmnf  13379  supxrunb1  13381  supxrunb2  13382  supxrub  13386  supxrlub  13387  infxrcl  13395  infxrlb  13396  infxrgelb  13397  xrinf0  13400  infmremnf  13405  limsupval  15520  limsupgval  15522  limsupgre  15527  ramval  17055  ramcl2lem  17056  prdsdsfn  17525  prdsdsval  17538  imasdsfn  17574  imasdsval  17575  prdsmet  24401  xpsdsval  24412  prdsbl  24525  tmsxpsval2  24573  nmoval  24757  xrge0tsms2  24876  metdsval  24888  iccpnfhmeo  24995  xrhmeo  24996  ovolval  25527  ovolf  25536  ovolctb  25544  itg2val  25783  mdegval  26122  mdegldg  26125  mdegxrf  26127  mdegcl  26128  aannenlem2  26389  nmooval  30795  nmoo0  30823  nmopval  31888  nmfnval  31908  nmop0  32018  nmfn0  32019  xrsupssd  32766  xrge0infssd  32768  infxrge0lb  32771  infxrge0glb  32772  infxrge0gelb  32773  xrsclat  32994  xrge0iifiso  33881  esumval  34010  esumnul  34012  esum0  34013  gsumesum  34023  esumsnf  34028  esumpcvgval  34042  esum2d  34057  omsfval  34259  omsf  34261  oms0  34262  omssubaddlem  34264  omssubadd  34265  mblfinlem2  37618  ovoliunnfl  37622  voliunnfl  37624  volsupnfl  37625  itg2addnclem  37631  radcnvrat  44283  infxrglb  45255  xrgtso  45260  infxr  45282  infxrunb2  45283  infxrpnf  45361  limsup0  45615  limsuppnfdlem  45622  limsupequzlem  45643  supcnvlimsup  45661  limsuplt2  45674  liminfval  45680  limsupge  45682  liminfgval  45683  liminfval2  45689  limsup10ex  45694  liminf10ex  45695  liminflelimsuplem  45696  cnrefiisplem  45750  etransclem48  46203  sge0val  46287  sge0z  46296  sge00  46297  sge0sn  46300  sge0tsms  46301  ovnval2  46466  smflimsuplem1  46741  smflimsuplem2  46742  smflimsuplem4  46744  smflimsuplem7  46747