Theorem xrltso 12619

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 12617	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 12618	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5477	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5441  ℝ^*cxr 10754   < clt 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760

This theorem is referenced by:  xrlttri2  12620  xrlttri3  12621  xrltne  12641  xmullem  12742  xmulasslem  12763  supxr  12791  supxrcl  12793  supxrun  12794  supxrmnf  12795  supxrunb1  12797  supxrunb2  12798  supxrub  12802  supxrlub  12803  infxrcl  12811  infxrlb  12812  infxrgelb  12813  xrinf0  12816  infmremnf  12821  limsupval  14923  limsupgval  14925  limsupgre  14930  ramval  16446  ramcl2lem  16447  prdsdsfn  16843  prdsdsval  16856  imasdsfn  16892  imasdsval  16893  prdsmet  23125  xpsdsval  23136  prdsbl  23246  tmsxpsval2  23294  nmoval  23470  xrge0tsms2  23589  metdsval  23601  iccpnfhmeo  23699  xrhmeo  23700  ovolval  24227  ovolf  24236  ovolctb  24244  itg2val  24483  mdegval  24818  mdegldg  24821  mdegxrf  24823  mdegcl  24824  aannenlem2  25079  nmooval  28700  nmoo0  28728  nmopval  29793  nmfnval  29813  nmop0  29923  nmfn0  29924  xrsupssd  30659  xrge0infssd  30661  infxrge0lb  30664  infxrge0glb  30665  infxrge0gelb  30666  xrsclat  30868  xrge0iifiso  31459  esumval  31586  esumnul  31588  esum0  31589  gsumesum  31599  esumsnf  31604  esumpcvgval  31618  esum2d  31633  omsfval  31833  omsf  31835  oms0  31836  omssubaddlem  31838  omssubadd  31839  mblfinlem2  35460  ovoliunnfl  35464  voliunnfl  35466  volsupnfl  35467  itg2addnclem  35473  radcnvrat  41492  infxrglb  42439  xrgtso  42444  infxr  42466  infxrunb2  42467  infxrpnf  42547  limsup0  42799  limsuppnfdlem  42806  limsupequzlem  42827  supcnvlimsup  42845  limsuplt2  42858  liminfval  42864  limsupge  42866  liminfgval  42867  liminfval2  42873  limsup10ex  42878  liminf10ex  42879  liminflelimsuplem  42880  cnrefiisplem  42934  etransclem48  43387  sge0val  43468  sge0z  43477  sge00  43478  sge0sn  43481  sge0tsms  43482  ovnval2  43647  smflimsuplem1  43914  smflimsuplem2  43915  smflimsuplem4  43917  smflimsuplem7  43920