Theorem xrltso 13157

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13155	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13156	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5597	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5559  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13158  xrlttri3  13159  xrltne  13179  xmullem  13281  xmulasslem  13302  supxr  13330  supxrcl  13332  supxrun  13333  supxrmnf  13334  supxrunb1  13336  supxrunb2  13337  supxrub  13341  supxrlub  13342  xrsupssd  13350  infxrcl  13351  infxrlb  13352  infxrgelb  13353  xrinf0  13356  infmremnf  13361  limsupval  15515  limsupgval  15517  limsupgre  15522  ramval  17058  ramcl2lem  17059  prdsdsfn  17508  prdsdsval  17521  imasdsfn  17558  imasdsval  17559  prdsmet  24488  xpsdsval  24499  prdsbl  24609  tmsxpsval2  24657  nmoval  24833  xrge0tsms2  24954  metdsval  24966  iccpnfhmeo  25065  xrhmeo  25066  ovolval  25593  ovolf  25602  ovolctb  25610  itg2val  25848  mdegval  26181  mdegldg  26184  mdegxrf  26186  mdegcl  26187  aannenlem2  26451  nmooval  31024  nmoo0  31052  nmopval  32117  nmfnval  32137  nmop0  32247  nmfn0  32248  xrge0infssd  33018  infxrge0lb  33021  infxrge0glb  33022  infxrge0gelb  33023  xrsclat  33244  xrge0iifiso  34242  esumval  34353  esumnul  34355  esum0  34356  gsumesum  34366  esumsnf  34371  esumpcvgval  34385  esum2d  34400  omsfval  34601  omsf  34603  oms0  34604  omssubaddlem  34606  omssubadd  34607  mblfinlem2  38169  ovoliunnfl  38173  voliunnfl  38175  volsupnfl  38176  itg2addnclem  38182  radcnvrat  44888  infxrglb  45914  xrgtso  45919  infxr  45940  infxrunb2  45941  infxrpnf  46018  limsup0  46266  limsuppnfdlem  46273  limsupequzlem  46294  supcnvlimsup  46312  limsuplt2  46325  liminfval  46331  limsupge  46333  liminfgval  46334  liminfval2  46340  limsup10ex  46345  liminf10ex  46346  liminflelimsuplem  46347  cnrefiisplem  46401  etransclem48  46854  sge0val  46938  sge0z  46947  sge00  46948  sge0sn  46951  sge0tsms  46952  ovnval2  47117  smflimsuplem1  47392  smflimsuplem2  47393  smflimsuplem4  47395  smflimsuplem7  47398