Theorem xrltso 13083

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13081	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13082	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5569	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5531  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13084  xrlttri3  13085  xrltne  13105  xmullem  13207  xmulasslem  13228  supxr  13256  supxrcl  13258  supxrun  13259  supxrmnf  13260  supxrunb1  13262  supxrunb2  13263  supxrub  13267  supxrlub  13268  xrsupssd  13276  infxrcl  13277  infxrlb  13278  infxrgelb  13279  xrinf0  13282  infmremnf  13287  limsupval  15427  limsupgval  15429  limsupgre  15434  ramval  16970  ramcl2lem  16971  prdsdsfn  17419  prdsdsval  17432  imasdsfn  17469  imasdsval  17470  prdsmet  24345  xpsdsval  24356  prdsbl  24466  tmsxpsval2  24514  nmoval  24690  xrge0tsms2  24811  metdsval  24823  iccpnfhmeo  24922  xrhmeo  24923  ovolval  25450  ovolf  25459  ovolctb  25467  itg2val  25705  mdegval  26038  mdegldg  26041  mdegxrf  26043  mdegcl  26044  aannenlem2  26306  nmooval  30849  nmoo0  30877  nmopval  31942  nmfnval  31962  nmop0  32072  nmfn0  32073  xrge0infssd  32849  infxrge0lb  32852  infxrge0glb  32853  infxrge0gelb  32854  xrsclat  33086  xrge0iifiso  34095  esumval  34206  esumnul  34208  esum0  34209  gsumesum  34219  esumsnf  34224  esumpcvgval  34238  esum2d  34253  omsfval  34454  omsf  34456  oms0  34457  omssubaddlem  34459  omssubadd  34460  mblfinlem2  37993  ovoliunnfl  37997  voliunnfl  37999  volsupnfl  38000  itg2addnclem  38006  radcnvrat  44759  infxrglb  45788  xrgtso  45793  infxr  45814  infxrunb2  45815  infxrpnf  45892  limsup0  46140  limsuppnfdlem  46147  limsupequzlem  46168  supcnvlimsup  46186  limsuplt2  46199  liminfval  46205  limsupge  46207  liminfgval  46208  liminfval2  46214  limsup10ex  46219  liminf10ex  46220  liminflelimsuplem  46221  cnrefiisplem  46275  etransclem48  46728  sge0val  46812  sge0z  46821  sge00  46822  sge0sn  46825  sge0tsms  46826  ovnval2  46991  smflimsuplem1  47266  smflimsuplem2  47267  smflimsuplem4  47269  smflimsuplem7  47272