Theorem xrltso 13162

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13160	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13161	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5603	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5565  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13163  xrlttri3  13164  xrltne  13184  xmullem  13285  xmulasslem  13306  supxr  13334  supxrcl  13336  supxrun  13337  supxrmnf  13338  supxrunb1  13340  supxrunb2  13341  supxrub  13345  supxrlub  13346  xrsupssd  13354  infxrcl  13355  infxrlb  13356  infxrgelb  13357  xrinf0  13360  infmremnf  13365  limsupval  15495  limsupgval  15497  limsupgre  15502  ramval  17033  ramcl2lem  17034  prdsdsfn  17484  prdsdsval  17497  imasdsfn  17533  imasdsval  17534  prdsmet  24314  xpsdsval  24325  prdsbl  24435  tmsxpsval2  24483  nmoval  24659  xrge0tsms2  24780  metdsval  24792  iccpnfhmeo  24899  xrhmeo  24900  ovolval  25431  ovolf  25440  ovolctb  25448  itg2val  25686  mdegval  26025  mdegldg  26028  mdegxrf  26030  mdegcl  26031  aannenlem2  26294  nmooval  30749  nmoo0  30777  nmopval  31842  nmfnval  31862  nmop0  31972  nmfn0  31973  xrge0infssd  32743  infxrge0lb  32746  infxrge0glb  32747  infxrge0gelb  32748  xrsclat  33008  xrge0iifiso  33971  esumval  34082  esumnul  34084  esum0  34085  gsumesum  34095  esumsnf  34100  esumpcvgval  34114  esum2d  34129  omsfval  34331  omsf  34333  oms0  34334  omssubaddlem  34336  omssubadd  34337  mblfinlem2  37687  ovoliunnfl  37691  voliunnfl  37693  volsupnfl  37694  itg2addnclem  37700  radcnvrat  44313  infxrglb  45347  xrgtso  45352  infxr  45374  infxrunb2  45375  infxrpnf  45453  limsup0  45703  limsuppnfdlem  45710  limsupequzlem  45731  supcnvlimsup  45749  limsuplt2  45762  liminfval  45768  limsupge  45770  liminfgval  45771  liminfval2  45777  limsup10ex  45782  liminf10ex  45783  liminflelimsuplem  45784  cnrefiisplem  45838  etransclem48  46291  sge0val  46375  sge0z  46384  sge00  46385  sge0sn  46388  sge0tsms  46389  ovnval2  46554  smflimsuplem1  46829  smflimsuplem2  46830  smflimsuplem4  46832  smflimsuplem7  46835