Theorem xrltso 12875

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 12873	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 12874	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5538	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5502  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  xrlttri2  12876  xrlttri3  12877  xrltne  12897  xmullem  12998  xmulasslem  13019  supxr  13047  supxrcl  13049  supxrun  13050  supxrmnf  13051  supxrunb1  13053  supxrunb2  13054  supxrub  13058  supxrlub  13059  infxrcl  13067  infxrlb  13068  infxrgelb  13069  xrinf0  13072  infmremnf  13077  limsupval  15183  limsupgval  15185  limsupgre  15190  ramval  16709  ramcl2lem  16710  prdsdsfn  17176  prdsdsval  17189  imasdsfn  17225  imasdsval  17226  prdsmet  23523  xpsdsval  23534  prdsbl  23647  tmsxpsval2  23695  nmoval  23879  xrge0tsms2  23998  metdsval  24010  iccpnfhmeo  24108  xrhmeo  24109  ovolval  24637  ovolf  24646  ovolctb  24654  itg2val  24893  mdegval  25228  mdegldg  25231  mdegxrf  25233  mdegcl  25234  aannenlem2  25489  nmooval  29125  nmoo0  29153  nmopval  30218  nmfnval  30238  nmop0  30348  nmfn0  30349  xrsupssd  31082  xrge0infssd  31084  infxrge0lb  31087  infxrge0glb  31088  infxrge0gelb  31089  xrsclat  31289  xrge0iifiso  31885  esumval  32014  esumnul  32016  esum0  32017  gsumesum  32027  esumsnf  32032  esumpcvgval  32046  esum2d  32061  omsfval  32261  omsf  32263  oms0  32264  omssubaddlem  32266  omssubadd  32267  mblfinlem2  35815  ovoliunnfl  35819  voliunnfl  35821  volsupnfl  35822  itg2addnclem  35828  radcnvrat  41932  infxrglb  42879  xrgtso  42884  infxr  42906  infxrunb2  42907  infxrpnf  42986  limsup0  43235  limsuppnfdlem  43242  limsupequzlem  43263  supcnvlimsup  43281  limsuplt2  43294  liminfval  43300  limsupge  43302  liminfgval  43303  liminfval2  43309  limsup10ex  43314  liminf10ex  43315  liminflelimsuplem  43316  cnrefiisplem  43370  etransclem48  43823  sge0val  43904  sge0z  43913  sge00  43914  sge0sn  43917  sge0tsms  43918  ovnval2  44083  smflimsuplem1  44353  smflimsuplem2  44354  smflimsuplem4  44356  smflimsuplem7  44359