Theorem xrltso 13037

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13035	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13036	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5561	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5523  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13038  xrlttri3  13039  xrltne  13059  xmullem  13160  xmulasslem  13181  supxr  13209  supxrcl  13211  supxrun  13212  supxrmnf  13213  supxrunb1  13215  supxrunb2  13216  supxrub  13220  supxrlub  13221  xrsupssd  13229  infxrcl  13230  infxrlb  13231  infxrgelb  13232  xrinf0  13235  infmremnf  13240  limsupval  15378  limsupgval  15380  limsupgre  15385  ramval  16917  ramcl2lem  16918  prdsdsfn  17366  prdsdsval  17379  imasdsfn  17415  imasdsval  17416  prdsmet  24283  xpsdsval  24294  prdsbl  24404  tmsxpsval2  24452  nmoval  24628  xrge0tsms2  24749  metdsval  24761  iccpnfhmeo  24868  xrhmeo  24869  ovolval  25399  ovolf  25408  ovolctb  25416  itg2val  25654  mdegval  25993  mdegldg  25996  mdegxrf  25998  mdegcl  25999  aannenlem2  26262  nmooval  30738  nmoo0  30766  nmopval  31831  nmfnval  31851  nmop0  31961  nmfn0  31962  xrge0infssd  32739  infxrge0lb  32742  infxrge0glb  32743  infxrge0gelb  32744  xrsclat  32987  xrge0iifiso  33943  esumval  34054  esumnul  34056  esum0  34057  gsumesum  34067  esumsnf  34072  esumpcvgval  34086  esum2d  34101  omsfval  34302  omsf  34304  oms0  34305  omssubaddlem  34307  omssubadd  34308  mblfinlem2  37697  ovoliunnfl  37701  voliunnfl  37703  volsupnfl  37704  itg2addnclem  37710  radcnvrat  44346  infxrglb  45378  xrgtso  45383  infxr  45404  infxrunb2  45405  infxrpnf  45483  limsup0  45731  limsuppnfdlem  45738  limsupequzlem  45759  supcnvlimsup  45777  limsuplt2  45790  liminfval  45796  limsupge  45798  liminfgval  45799  liminfval2  45805  limsup10ex  45810  liminf10ex  45811  liminflelimsuplem  45812  cnrefiisplem  45866  etransclem48  46319  sge0val  46403  sge0z  46412  sge00  46413  sge0sn  46416  sge0tsms  46417  ovnval2  46582  smflimsuplem1  46857  smflimsuplem2  46858  smflimsuplem4  46860  smflimsuplem7  46863