Theorem xrltso 13184

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13182	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13183	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5611	1 ⊢ < Or ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   Or wor 5573  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266

This theorem is used by:  xrlttri2  13185  xrlttri3  13186  xrltne  13206  xmullem  13308  xmulasslem  13329  supxr  13357  supxrcl  13359  supxrun  13360  supxrmnf  13361  supxrunb1  13363  supxrunb2  13364  supxrub  13368  supxrlub  13369  xrsupssd  13377  infxrcl  13378  infxrlb  13379  infxrgelb  13380  xrinf0  13383  infmremnf  13388  limsupval  15551  limsupgval  15553  limsupgre  15558  ramval  17093  ramcl2lem  17094  prdsdsfn  17543  prdsdsval  17556  imasdsfn  17593  imasdsval  17594  prdsmet  24564  xpsdsval  24575  prdsbl  24685  tmsxpsval2  24733  nmoval  24909  xrge0tsms2  25030  metdsval  25042  iccpnfhmeo  25141  xrhmeo  25142  ovolval  25669  ovolf  25678  ovolctb  25686  itg2val  25924  mdegval  26257  mdegldg  26260  mdegxrf  26262  mdegcl  26263  aannenlem2  26529  nmooval  31152  nmoo0  31180  nmopval  32245  nmfnval  32265  nmop0  32375  nmfn0  32376  xrge0infssd  33143  infxrge0lb  33146  infxrge0glb  33147  infxrge0gelb  33148  xrsclat  33362  xrge0iifiso  34356  esumval  34467  esumnul  34469  esum0  34470  gsumesum  34480  esumsnf  34485  esumpcvgval  34499  esum2d  34514  omsfval  34716  omsf  34718  oms0  34719  omssubaddlem  34721  omssubadd  34722  mblfinlem2  38350  ovoliunnfl  38354  voliunnfl  38356  volsupnfl  38357  itg2addnclem  38363  radcnvrat  45065  infxrglb  46097  xrgtso  46102  infxr  46123  infxrunb2  46124  infxrpnf  46201  limsup0  46449  limsuppnfdlem  46456  limsupequzlem  46477  supcnvlimsup  46495  limsuplt2  46508  liminfval  46514  limsupge  46516  liminfgval  46517  liminfval2  46523  limsup10ex  46528  liminf10ex  46529  liminflelimsuplem  46530  cnrefiisplem  46584  etransclem48  47037  sge0val  47121  sge0z  47130  sge00  47131  sge0sn  47134  sge0tsms  47135  ovnval2  47300  smflimsuplem1  47575  smflimsuplem2  47576  smflimsuplem4  47578  smflimsuplem7  47581