Theorem xrltso 13046

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13044	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13045	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5564	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5526  ℝ^*cxr 11151   < clt 11152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13047  xrlttri3  13048  xrltne  13068  xmullem  13169  xmulasslem  13190  supxr  13218  supxrcl  13220  supxrun  13221  supxrmnf  13222  supxrunb1  13224  supxrunb2  13225  supxrub  13229  supxrlub  13230  xrsupssd  13238  infxrcl  13239  infxrlb  13240  infxrgelb  13241  xrinf0  13244  infmremnf  13249  limsupval  15387  limsupgval  15389  limsupgre  15394  ramval  16926  ramcl2lem  16927  prdsdsfn  17375  prdsdsval  17388  imasdsfn  17424  imasdsval  17425  prdsmet  24291  xpsdsval  24302  prdsbl  24412  tmsxpsval2  24460  nmoval  24636  xrge0tsms2  24757  metdsval  24769  iccpnfhmeo  24876  xrhmeo  24877  ovolval  25407  ovolf  25416  ovolctb  25424  itg2val  25662  mdegval  26001  mdegldg  26004  mdegxrf  26006  mdegcl  26007  aannenlem2  26270  nmooval  30750  nmoo0  30778  nmopval  31843  nmfnval  31863  nmop0  31973  nmfn0  31974  xrge0infssd  32751  infxrge0lb  32754  infxrge0glb  32755  infxrge0gelb  32756  xrsclat  32999  xrge0iifiso  33955  esumval  34066  esumnul  34068  esum0  34069  gsumesum  34079  esumsnf  34084  esumpcvgval  34098  esum2d  34113  omsfval  34314  omsf  34316  oms0  34317  omssubaddlem  34319  omssubadd  34320  mblfinlem2  37704  ovoliunnfl  37708  voliunnfl  37710  volsupnfl  37711  itg2addnclem  37717  radcnvrat  44412  infxrglb  45444  xrgtso  45449  infxr  45470  infxrunb2  45471  infxrpnf  45549  limsup0  45797  limsuppnfdlem  45804  limsupequzlem  45825  supcnvlimsup  45843  limsuplt2  45856  liminfval  45862  limsupge  45864  liminfgval  45865  liminfval2  45871  limsup10ex  45876  liminf10ex  45877  liminflelimsuplem  45878  cnrefiisplem  45932  etransclem48  46385  sge0val  46469  sge0z  46478  sge00  46479  sge0sn  46482  sge0tsms  46483  ovnval2  46648  smflimsuplem1  46923  smflimsuplem2  46924  smflimsuplem4  46926  smflimsuplem7  46929