Theorem xrltso 13090

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13088	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13089	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5570	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5532  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13091  xrlttri3  13092  xrltne  13112  xmullem  13214  xmulasslem  13235  supxr  13263  supxrcl  13265  supxrun  13266  supxrmnf  13267  supxrunb1  13269  supxrunb2  13270  supxrub  13274  supxrlub  13275  xrsupssd  13283  infxrcl  13284  infxrlb  13285  infxrgelb  13286  xrinf0  13289  infmremnf  13294  limsupval  15434  limsupgval  15436  limsupgre  15441  ramval  16977  ramcl2lem  16978  prdsdsfn  17426  prdsdsval  17439  imasdsfn  17476  imasdsval  17477  prdsmet  24360  xpsdsval  24371  prdsbl  24481  tmsxpsval2  24529  nmoval  24705  xrge0tsms2  24826  metdsval  24838  iccpnfhmeo  24937  xrhmeo  24938  ovolval  25465  ovolf  25474  ovolctb  25482  itg2val  25720  mdegval  26053  mdegldg  26056  mdegxrf  26058  mdegcl  26059  aannenlem2  26320  nmooval  30859  nmoo0  30887  nmopval  31952  nmfnval  31972  nmop0  32082  nmfn0  32083  xrge0infssd  32860  infxrge0lb  32863  infxrge0glb  32864  infxrge0gelb  32865  xrsclat  33097  xrge0iifiso  34126  esumval  34237  esumnul  34239  esum0  34240  gsumesum  34250  esumsnf  34255  esumpcvgval  34269  esum2d  34284  omsfval  34485  omsf  34487  oms0  34488  omssubaddlem  34490  omssubadd  34491  mblfinlem2  38032  ovoliunnfl  38036  voliunnfl  38038  volsupnfl  38039  itg2addnclem  38045  radcnvrat  44765  infxrglb  45792  xrgtso  45797  infxr  45818  infxrunb2  45819  infxrpnf  45896  limsup0  46144  limsuppnfdlem  46151  limsupequzlem  46172  supcnvlimsup  46190  limsuplt2  46203  liminfval  46209  limsupge  46211  liminfgval  46212  liminfval2  46218  limsup10ex  46223  liminf10ex  46224  liminflelimsuplem  46225  cnrefiisplem  46279  etransclem48  46732  sge0val  46816  sge0z  46825  sge00  46826  sge0sn  46829  sge0tsms  46830  ovnval2  46995  smflimsuplem1  47270  smflimsuplem2  47271  smflimsuplem4  47273  smflimsuplem7  47276