Theorem xrltso 13124

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13122	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13123	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5622	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5586  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13125  xrlttri3  13126  xrltne  13146  xmullem  13247  xmulasslem  13268  supxr  13296  supxrcl  13298  supxrun  13299  supxrmnf  13300  supxrunb1  13302  supxrunb2  13303  supxrub  13307  supxrlub  13308  infxrcl  13316  infxrlb  13317  infxrgelb  13318  xrinf0  13321  infmremnf  13326  limsupval  15422  limsupgval  15424  limsupgre  15429  ramval  16945  ramcl2lem  16946  prdsdsfn  17415  prdsdsval  17428  imasdsfn  17464  imasdsval  17465  prdsmet  24096  xpsdsval  24107  prdsbl  24220  tmsxpsval2  24268  nmoval  24452  xrge0tsms2  24571  metdsval  24583  iccpnfhmeo  24690  xrhmeo  24691  ovolval  25222  ovolf  25231  ovolctb  25239  itg2val  25478  mdegval  25816  mdegldg  25819  mdegxrf  25821  mdegcl  25822  aannenlem2  26078  nmooval  30283  nmoo0  30311  nmopval  31376  nmfnval  31396  nmop0  31506  nmfn0  31507  xrsupssd  32239  xrge0infssd  32241  infxrge0lb  32244  infxrge0glb  32245  infxrge0gelb  32246  xrsclat  32448  xrge0iifiso  33213  esumval  33342  esumnul  33344  esum0  33345  gsumesum  33355  esumsnf  33360  esumpcvgval  33374  esum2d  33389  omsfval  33591  omsf  33593  oms0  33594  omssubaddlem  33596  omssubadd  33597  mblfinlem2  36829  ovoliunnfl  36833  voliunnfl  36835  volsupnfl  36836  itg2addnclem  36842  radcnvrat  43375  infxrglb  44348  xrgtso  44353  infxr  44375  infxrunb2  44376  infxrpnf  44454  limsup0  44708  limsuppnfdlem  44715  limsupequzlem  44736  supcnvlimsup  44754  limsuplt2  44767  liminfval  44773  limsupge  44775  liminfgval  44776  liminfval2  44782  limsup10ex  44787  liminf10ex  44788  liminflelimsuplem  44789  cnrefiisplem  44843  etransclem48  45296  sge0val  45380  sge0z  45389  sge00  45390  sge0sn  45393  sge0tsms  45394  ovnval2  45559  smflimsuplem1  45834  smflimsuplem2  45835  smflimsuplem4  45837  smflimsuplem7  45840