Theorem xrltso 12522

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 12520	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 12521	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5472	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5437  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  xrlttri2  12523  xrlttri3  12524  xrltne  12544  xmullem  12645  xmulasslem  12666  supxr  12694  supxrcl  12696  supxrun  12697  supxrmnf  12698  supxrunb1  12700  supxrunb2  12701  supxrub  12705  supxrlub  12706  infxrcl  12714  infxrlb  12715  infxrgelb  12716  xrinf0  12719  infmremnf  12724  limsupval  14823  limsupgval  14825  limsupgre  14830  ramval  16334  ramcl2lem  16335  prdsdsfn  16730  prdsdsval  16743  imasdsfn  16779  imasdsval  16780  prdsmet  22977  xpsdsval  22988  prdsbl  23098  tmsxpsval2  23146  nmoval  23321  xrge0tsms2  23440  metdsval  23452  iccpnfhmeo  23550  xrhmeo  23551  ovolval  24077  ovolf  24086  ovolctb  24094  itg2val  24332  mdegval  24664  mdegldg  24667  mdegxrf  24669  mdegcl  24670  aannenlem2  24925  nmooval  28546  nmoo0  28574  nmopval  29639  nmfnval  29659  nmop0  29769  nmfn0  29770  xrsupssd  30509  xrge0infssd  30511  infxrge0lb  30514  infxrge0glb  30515  infxrge0gelb  30516  xrsclat  30714  xrge0iifiso  31288  esumval  31415  esumnul  31417  esum0  31418  gsumesum  31428  esumsnf  31433  esumpcvgval  31447  esum2d  31462  omsfval  31662  omsf  31664  oms0  31665  omssubaddlem  31667  omssubadd  31668  mblfinlem2  35095  ovoliunnfl  35099  voliunnfl  35101  volsupnfl  35102  itg2addnclem  35108  radcnvrat  41018  infxrglb  41972  xrgtso  41977  infxr  41999  infxrunb2  42000  infxrpnf  42084  limsup0  42336  limsuppnfdlem  42343  limsupequzlem  42364  supcnvlimsup  42382  limsuplt2  42395  liminfval  42401  limsupge  42403  liminfgval  42404  liminfval2  42410  limsup10ex  42415  liminf10ex  42416  liminflelimsuplem  42417  cnrefiisplem  42471  etransclem48  42924  sge0val  43005  sge0z  43014  sge00  43015  sge0sn  43018  sge0tsms  43019  ovnval2  43184  smflimsuplem1  43451  smflimsuplem2  43452  smflimsuplem4  43454  smflimsuplem7  43457