Theorem xrltso 13061

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13059	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13060	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5568	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5530  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13062  xrlttri3  13063  xrltne  13083  xmullem  13184  xmulasslem  13205  supxr  13233  supxrcl  13235  supxrun  13236  supxrmnf  13237  supxrunb1  13239  supxrunb2  13240  supxrub  13244  supxrlub  13245  xrsupssd  13253  infxrcl  13254  infxrlb  13255  infxrgelb  13256  xrinf0  13259  infmremnf  13264  limsupval  15399  limsupgval  15401  limsupgre  15406  ramval  16938  ramcl2lem  16939  prdsdsfn  17387  prdsdsval  17400  imasdsfn  17436  imasdsval  17437  prdsmet  24274  xpsdsval  24285  prdsbl  24395  tmsxpsval2  24443  nmoval  24619  xrge0tsms2  24740  metdsval  24752  iccpnfhmeo  24859  xrhmeo  24860  ovolval  25390  ovolf  25399  ovolctb  25407  itg2val  25645  mdegval  25984  mdegldg  25987  mdegxrf  25989  mdegcl  25990  aannenlem2  26253  nmooval  30725  nmoo0  30753  nmopval  31818  nmfnval  31838  nmop0  31948  nmfn0  31949  xrge0infssd  32717  infxrge0lb  32720  infxrge0glb  32721  infxrge0gelb  32722  xrsclat  32978  xrge0iifiso  33901  esumval  34012  esumnul  34014  esum0  34015  gsumesum  34025  esumsnf  34030  esumpcvgval  34044  esum2d  34059  omsfval  34261  omsf  34263  oms0  34264  omssubaddlem  34266  omssubadd  34267  mblfinlem2  37637  ovoliunnfl  37641  voliunnfl  37643  volsupnfl  37644  itg2addnclem  37650  radcnvrat  44287  infxrglb  45320  xrgtso  45325  infxr  45347  infxrunb2  45348  infxrpnf  45426  limsup0  45676  limsuppnfdlem  45683  limsupequzlem  45704  supcnvlimsup  45722  limsuplt2  45735  liminfval  45741  limsupge  45743  liminfgval  45744  liminfval2  45750  limsup10ex  45755  liminf10ex  45756  liminflelimsuplem  45757  cnrefiisplem  45811  etransclem48  46264  sge0val  46348  sge0z  46357  sge00  46358  sge0sn  46361  sge0tsms  46362  ovnval2  46527  smflimsuplem1  46802  smflimsuplem2  46803  smflimsuplem4  46805  smflimsuplem7  46808