Theorem xrltso 13140

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13138	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13139	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5590	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5552  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13141  xrlttri3  13142  xrltne  13162  xmullem  13264  xmulasslem  13285  supxr  13313  supxrcl  13315  supxrun  13316  supxrmnf  13317  supxrunb1  13319  supxrunb2  13320  supxrub  13324  supxrlub  13325  xrsupssd  13333  infxrcl  13334  infxrlb  13335  infxrgelb  13336  xrinf0  13339  infmremnf  13344  limsupval  15484  limsupgval  15486  limsupgre  15491  ramval  17027  ramcl2lem  17028  prdsdsfn  17477  prdsdsval  17490  imasdsfn  17527  imasdsval  17528  prdsmet  24410  xpsdsval  24421  prdsbl  24531  tmsxpsval2  24579  nmoval  24755  xrge0tsms2  24876  metdsval  24888  iccpnfhmeo  24987  xrhmeo  24988  ovolval  25515  ovolf  25524  ovolctb  25532  itg2val  25770  mdegval  26103  mdegldg  26106  mdegxrf  26108  mdegcl  26109  aannenlem2  26370  nmooval  30912  nmoo0  30940  nmopval  32005  nmfnval  32025  nmop0  32135  nmfn0  32136  xrge0infssd  32913  infxrge0lb  32916  infxrge0glb  32917  infxrge0gelb  32918  xrsclat  33150  xrge0iifiso  34193  esumval  34304  esumnul  34306  esum0  34307  gsumesum  34317  esumsnf  34322  esumpcvgval  34336  esum2d  34351  omsfval  34552  omsf  34554  oms0  34555  omssubaddlem  34557  omssubadd  34558  mblfinlem2  38121  ovoliunnfl  38125  voliunnfl  38127  volsupnfl  38128  itg2addnclem  38134  radcnvrat  44854  infxrglb  45880  xrgtso  45885  infxr  45906  infxrunb2  45907  infxrpnf  45984  limsup0  46232  limsuppnfdlem  46239  limsupequzlem  46260  supcnvlimsup  46278  limsuplt2  46291  liminfval  46297  limsupge  46299  liminfgval  46300  liminfval2  46306  limsup10ex  46311  liminf10ex  46312  liminflelimsuplem  46313  cnrefiisplem  46367  etransclem48  46820  sge0val  46904  sge0z  46913  sge00  46914  sge0sn  46917  sge0tsms  46918  ovnval2  47083  smflimsuplem1  47358  smflimsuplem2  47359  smflimsuplem4  47361  smflimsuplem7  47364