Theorem xrltso 12804

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 12802	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 12803	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5529	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5493  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  xrlttri2  12805  xrlttri3  12806  xrltne  12826  xmullem  12927  xmulasslem  12948  supxr  12976  supxrcl  12978  supxrun  12979  supxrmnf  12980  supxrunb1  12982  supxrunb2  12983  supxrub  12987  supxrlub  12988  infxrcl  12996  infxrlb  12997  infxrgelb  12998  xrinf0  13001  infmremnf  13006  limsupval  15111  limsupgval  15113  limsupgre  15118  ramval  16637  ramcl2lem  16638  prdsdsfn  17093  prdsdsval  17106  imasdsfn  17142  imasdsval  17143  prdsmet  23431  xpsdsval  23442  prdsbl  23553  tmsxpsval2  23601  nmoval  23785  xrge0tsms2  23904  metdsval  23916  iccpnfhmeo  24014  xrhmeo  24015  ovolval  24542  ovolf  24551  ovolctb  24559  itg2val  24798  mdegval  25133  mdegldg  25136  mdegxrf  25138  mdegcl  25139  aannenlem2  25394  nmooval  29026  nmoo0  29054  nmopval  30119  nmfnval  30139  nmop0  30249  nmfn0  30250  xrsupssd  30984  xrge0infssd  30986  infxrge0lb  30989  infxrge0glb  30990  infxrge0gelb  30991  xrsclat  31191  xrge0iifiso  31787  esumval  31914  esumnul  31916  esum0  31917  gsumesum  31927  esumsnf  31932  esumpcvgval  31946  esum2d  31961  omsfval  32161  omsf  32163  oms0  32164  omssubaddlem  32166  omssubadd  32167  mblfinlem2  35742  ovoliunnfl  35746  voliunnfl  35748  volsupnfl  35749  itg2addnclem  35755  radcnvrat  41821  infxrglb  42769  xrgtso  42774  infxr  42796  infxrunb2  42797  infxrpnf  42876  limsup0  43125  limsuppnfdlem  43132  limsupequzlem  43153  supcnvlimsup  43171  limsuplt2  43184  liminfval  43190  limsupge  43192  liminfgval  43193  liminfval2  43199  limsup10ex  43204  liminf10ex  43205  liminflelimsuplem  43206  cnrefiisplem  43260  etransclem48  43713  sge0val  43794  sge0z  43803  sge00  43804  sge0sn  43807  sge0tsms  43808  ovnval2  43973  smflimsuplem1  44240  smflimsuplem2  44241  smflimsuplem4  44243  smflimsuplem7  44246