Theorem xrltso 13042

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13040	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13041	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5564	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5526  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13043  xrlttri3  13044  xrltne  13064  xmullem  13165  xmulasslem  13186  supxr  13214  supxrcl  13216  supxrun  13217  supxrmnf  13218  supxrunb1  13220  supxrunb2  13221  supxrub  13225  supxrlub  13226  xrsupssd  13234  infxrcl  13235  infxrlb  13236  infxrgelb  13237  xrinf0  13240  infmremnf  13245  limsupval  15383  limsupgval  15385  limsupgre  15390  ramval  16922  ramcl2lem  16923  prdsdsfn  17371  prdsdsval  17384  imasdsfn  17420  imasdsval  17421  prdsmet  24286  xpsdsval  24297  prdsbl  24407  tmsxpsval2  24455  nmoval  24631  xrge0tsms2  24752  metdsval  24764  iccpnfhmeo  24871  xrhmeo  24872  ovolval  25402  ovolf  25411  ovolctb  25419  itg2val  25657  mdegval  25996  mdegldg  25999  mdegxrf  26001  mdegcl  26002  aannenlem2  26265  nmooval  30745  nmoo0  30773  nmopval  31838  nmfnval  31858  nmop0  31968  nmfn0  31969  xrge0infssd  32748  infxrge0lb  32751  infxrge0glb  32752  infxrge0gelb  32753  xrsclat  32999  xrge0iifiso  33969  esumval  34080  esumnul  34082  esum0  34083  gsumesum  34093  esumsnf  34098  esumpcvgval  34112  esum2d  34127  omsfval  34328  omsf  34330  oms0  34331  omssubaddlem  34333  omssubadd  34334  mblfinlem2  37719  ovoliunnfl  37723  voliunnfl  37725  volsupnfl  37726  itg2addnclem  37732  radcnvrat  44432  infxrglb  45464  xrgtso  45469  infxr  45490  infxrunb2  45491  infxrpnf  45569  limsup0  45817  limsuppnfdlem  45824  limsupequzlem  45845  supcnvlimsup  45863  limsuplt2  45876  liminfval  45882  limsupge  45884  liminfgval  45885  liminfval2  45891  limsup10ex  45896  liminf10ex  45897  liminflelimsuplem  45898  cnrefiisplem  45952  etransclem48  46405  sge0val  46489  sge0z  46498  sge00  46499  sge0sn  46502  sge0tsms  46503  ovnval2  46668  smflimsuplem1  46943  smflimsuplem2  46944  smflimsuplem4  46946  smflimsuplem7  46949