Theorem xrltso 13092

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 13090	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 13091	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5576	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 5538  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  xrlttri2  13093  xrlttri3  13094  xrltne  13114  xmullem  13216  xmulasslem  13237  supxr  13265  supxrcl  13267  supxrun  13268  supxrmnf  13269  supxrunb1  13271  supxrunb2  13272  supxrub  13276  supxrlub  13277  xrsupssd  13285  infxrcl  13286  infxrlb  13287  infxrgelb  13288  xrinf0  13291  infmremnf  13296  limsupval  15436  limsupgval  15438  limsupgre  15443  ramval  16979  ramcl2lem  16980  prdsdsfn  17428  prdsdsval  17441  imasdsfn  17478  imasdsval  17479  prdsmet  24335  xpsdsval  24346  prdsbl  24456  tmsxpsval2  24504  nmoval  24680  xrge0tsms2  24801  metdsval  24813  iccpnfhmeo  24912  xrhmeo  24913  ovolval  25440  ovolf  25449  ovolctb  25457  itg2val  25695  mdegval  26028  mdegldg  26031  mdegxrf  26033  mdegcl  26034  aannenlem2  26295  nmooval  30834  nmoo0  30862  nmopval  31927  nmfnval  31947  nmop0  32057  nmfn0  32058  xrge0infssd  32834  infxrge0lb  32837  infxrge0glb  32838  infxrge0gelb  32839  xrsclat  33071  xrge0iifiso  34079  esumval  34190  esumnul  34192  esum0  34193  gsumesum  34203  esumsnf  34208  esumpcvgval  34222  esum2d  34237  omsfval  34438  omsf  34440  oms0  34441  omssubaddlem  34443  omssubadd  34444  mblfinlem2  37979  ovoliunnfl  37983  voliunnfl  37985  volsupnfl  37986  itg2addnclem  37992  radcnvrat  44741  infxrglb  45770  xrgtso  45775  infxr  45796  infxrunb2  45797  infxrpnf  45874  limsup0  46122  limsuppnfdlem  46129  limsupequzlem  46150  supcnvlimsup  46168  limsuplt2  46181  liminfval  46187  limsupge  46189  liminfgval  46190  liminfval2  46196  limsup10ex  46201  liminf10ex  46202  liminflelimsuplem  46203  cnrefiisplem  46257  etransclem48  46710  sge0val  46794  sge0z  46803  sge00  46804  sge0sn  46807  sge0tsms  46808  ovnval2  46973  smflimsuplem1  47248  smflimsuplem2  47249  smflimsuplem4  47251  smflimsuplem7  47254