MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleloe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrleloe 12632
Description: 'Less than or equal' expressed in terms of 'less than' or 'equals', for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrleloe ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem xrleloe
StepHypRef Expression
1 xrlenlt 10796 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2 xrlttri 12627 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
32ancoms 462 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
43con2bid 358 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5 eqcom 2746 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
65orbi1i 913 . . . 4 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵))
7 orcom 869 . . . 4 ((𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
86, 7bitri 278 . . 3 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
94, 8bitr3di 289 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
101, 9bitrd 282 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5040  *cxr 10764   < clt 10765  cle 10766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771
This theorem is referenced by:  xrleltne  12633  dfle2  12635  xrltle  12637  xrleid  12639  xrlelttr  12644  xrltletr  12645  xrletr  12646  nltpnft  12652  ngtmnft  12654  xmulge0  12772  xlemul1a  12776  xadddi2  12785  prunioo  12967  xrsxmet  23573  metds0  23614  metdseq0  23618  metnrmlem1a  23622  icombl  24328  ioombl  24329  volivth  24371  vitalilem4  24375  itg2gt0  24525  deg1sublt  24875  xrge0addgt0  30889  xrge0adddir  30890  icorempo  35177  icceuelpartlem  44468
  Copyright terms: Public domain W3C validator