MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleltne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrleltne 13130
Description: 'Less than or equal to' implies 'less than' is not 'equals', for extended reals. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrleltne ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem xrleltne
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 13128 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
2 simpl 482 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
31, 2biimtrdi 252 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
43adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
5 xrleloe 13129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
65biimpa 476 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
76ord 861 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (¬ 𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
84, 7impbid 211 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
98necon2abid 2977 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
10 necom 2988 . . 3 (𝐵𝐴𝐴𝐵)
119, 10bitr4di 289 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
12113impa 1107 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934   class class class wbr 5141  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258
This theorem is referenced by:  xrsdsreclblem  21306  nmopgt0  31674  elicc3  35710  xrleneltd  44602  icoiccdif  44806
  Copyright terms: Public domain W3C validator