MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletri3 13192
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
xrletri3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem xrletri3
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 13181 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
21biancomd 463 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
3 xrlenlt 11323 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4 xrlenlt 11323 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
54ancoms 458 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
63, 5anbi12d 632 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
72, 6bitr4d 282 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298
This theorem is referenced by:  xrletrid  13193  xrmaxeq  13217  xrmineq  13218  xleadd1a  13291  xsubge0  13299  xlemul1a  13326  hashle00  14435  limsupval2  15512  pc2dvds  16912  pc11  16913  letsr  18650  isxmet2d  24352  xmetgt0  24383  prdsxmetlem  24393  xblss2  24427  nmo0  24771  nmoid  24778  xrsxmet  24844  ovolssnul  25535  ovolctb  25538  ovoliunnul  25555  ovolre  25573  volsup  25604  vitalilem5  25660  itg2mulc  25796  umgrislfupgrlem  29153  upgr2pthnlp  29764  xeqlelt  32784  xrstos  32994  xrge0omnd  33070  metideq  33853  metider  33854  esumpad2  34036  esumrnmpt2  34048  measle0  34188  inelcarsg  34292  carsggect  34299  carsgclctun  34302  omsmeas  34304  ovoliunnfl  37648  volsupnfl  37651  iccintsng  45475  liminfval2  45723
  Copyright terms: Public domain W3C validator