Theorem xrletri3 13323

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xrletri3	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem xrletri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 13312	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
2	1	biancomd 469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
3		xrlenlt 11413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4		xrlenlt 11413	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5	4	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
6	3, 5	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
7	2, 6	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388

This theorem is used by:  xrletrid  13324  xrmaxeq  13349  xrmineq  13350  xleadd1a  13423  xsubge0  13431  xlemul1a  13458  hashle00  14585  limsupval2  15691  pc2dvds  17101  pc11  17102  letsr  18817  xrge0omnd  21805  isxmet2d  24701  xmetgt0  24732  prdsxmetlem  24742  xblss2  24776  nmo0  25109  nmoid  25116  xrsxmet  25184  ovolssnul  25863  ovolctb  25866  ovoliunnul  25883  ovolre  25901  volsup  25932  vitalilem5  25988  itg2mulc  26123  umgrislfupgrlem  29757  upgr2pthnlp  30375  xeqlelt  33464  xrstos  33670  metideq  34636  metider  34637  esumpad2  34799  esumrnmpt2  34811  measle0  34952  inelcarsg  35054  carsggect  35061  carsgclctun  35064  omsmeas  35066  ovoliunnfl  38848  volsupnfl  38851  iccintsng  46808  liminfval2  47051