MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletri3 12526
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
xrletri3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem xrletri3
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 12515 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
21biancomd 466 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
3 xrlenlt 10684 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4 xrlenlt 10684 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
54ancoms 461 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
63, 5anbi12d 632 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
72, 6bitr4d 284 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5042  *cxr 10652   < clt 10653  cle 10654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659
This theorem is referenced by:  xrletrid  12527  xrmaxeq  12551  xrmineq  12552  xleadd1a  12625  xsubge0  12633  xlemul1a  12660  hashle00  13746  limsupval2  14817  pc2dvds  16193  pc11  16194  letsr  17816  isxmet2d  22913  xmetgt0  22944  prdsxmetlem  22954  xblss2  22988  nmo0  23320  nmoid  23327  xrsxmet  23393  ovolssnul  24070  ovolctb  24073  ovoliunnul  24090  ovolre  24108  volsup  24139  vitalilem5  24195  itg2mulc  24330  umgrislfupgrlem  26894  upgr2pthnlp  27500  xeqlelt  30486  xrstos  30674  xrge0omnd  30720  metideq  31144  metider  31145  esumpad2  31323  esumrnmpt2  31335  measle0  31475  inelcarsg  31577  carsggect  31584  carsgclctun  31587  omsmeas  31589  ovoliunnfl  34975  volsupnfl  34978  iccintsng  41951  liminfval2  42201
  Copyright terms: Public domain W3C validator