MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletri3 13196
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
xrletri3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem xrletri3
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 13185 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
21biancomd 463 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
3 xrlenlt 11326 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4 xrlenlt 11326 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
54ancoms 458 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
63, 5anbi12d 632 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
72, 6bitr4d 282 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301
This theorem is referenced by:  xrletrid  13197  xrmaxeq  13221  xrmineq  13222  xleadd1a  13295  xsubge0  13303  xlemul1a  13330  hashle00  14439  limsupval2  15516  pc2dvds  16917  pc11  16918  letsr  18638  isxmet2d  24337  xmetgt0  24368  prdsxmetlem  24378  xblss2  24412  nmo0  24756  nmoid  24763  xrsxmet  24831  ovolssnul  25522  ovolctb  25525  ovoliunnul  25542  ovolre  25560  volsup  25591  vitalilem5  25647  itg2mulc  25782  umgrislfupgrlem  29139  upgr2pthnlp  29752  xeqlelt  32778  xrstos  33012  xrge0omnd  33088  metideq  33892  metider  33893  esumpad2  34057  esumrnmpt2  34069  measle0  34209  inelcarsg  34313  carsggect  34320  carsgclctun  34323  omsmeas  34325  ovoliunnfl  37669  volsupnfl  37672  iccintsng  45536  liminfval2  45783
  Copyright terms: Public domain W3C validator