MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlttri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlttri2 12268
Description: Trichotomy law for 'less than' for extended reals. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrlttri2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem xrlttri2
StepHypRef Expression
1 xrltso 12267 . . . 4 < Or ℝ*
2 sotrieq 5293 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
31, 2mpan 681 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
43bicomd 215 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ 𝐴 = 𝐵))
54necon1abid 3037 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999   class class class wbr 4875   Or wor 5264  *cxr 10397   < clt 10398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403
This theorem is referenced by:  qextlt  12329  qextle  12330  nmlnogt0  28203  sgncl  31142  sgn3da  31145
  Copyright terms: Public domain W3C validator