Theorem iccid 13404

Description: A closed interval with identical lower and upper bounds is a singleton. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem iccid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
2	1	anidms 565	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
3		xrlenlt 11311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐴))
4		xrlenlt 11311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
5	4	ancoms 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
6		xrlttri3 13157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
7	6	biimprd 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
8	7	ancoms 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
9	8	expcomd 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝑥 → (¬ 𝑥 < 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
10	5, 9	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 → (¬ 𝑥 < 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
11	10	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑥 < 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
12	3, 11	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
13	12	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴))))
14	13	3impd 1345	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴))
15		eleq1a 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ*))
16		xrleid 13165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
17		breq2 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
18	16, 17	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝑥))
19		breq1 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
20	16, 19	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐴))
21	15, 18, 20	3jcad 1126	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
22	14, 21	impbid 211	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
23		velsn 4646	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
24	22, 23	bitr4di 288	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
25	2, 24	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
26	25	eqrdv 2723	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4630   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  ℝ^*cxr 11279   < clt 11280   ≤ cle 11281  [,]cicc 13362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-icc 13366

This theorem is referenced by:  ioounsn  13489  snunioo  13490  snunico  13491  snunioc  13492  prunioo  13493  icccmplem1  24782  ivthicc  25431  ioombl  25538  volivth  25580  mbfimasn  25605  itgspliticc  25810  dvivth  25987  cvmliftlem10  35035  mblfinlem2  37262  areacirc  37317  iocinico  42782  iocmbl  42783  snunioo1  45035  cncfiooicc  45420  vonsn  46217  seppcld  48134