MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccid 12532
Description: A closed interval with identical lower and upper bounds is a singleton. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
iccid (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem iccid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc1 12531 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴)))
21anidms 562 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴)))
3 xrlenlt 10442 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐴))
4 xrlenlt 10442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
54ancoms 452 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
6 xrlttri3 12286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
76biimprd 240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
87ancoms 452 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
98expcomd 408 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝑥 → (¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 = 𝐴)))
105, 9sylbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 = 𝐴)))
1110com23 86 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑥 < 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴)))
123, 11sylbid 232 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑥 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴)))
1312ex 403 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴𝑥 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴))))
14133impd 1410 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴))
15 eleq1a 2854 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴𝑥 ∈ ℝ*))
16 xrleid 12294 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
17 breq2 4890 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
1816, 17syl5ibrcom 239 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴𝐴𝑥))
19 breq1 4889 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐴𝐴𝐴))
2016, 19syl5ibrcom 239 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴𝑥𝐴))
2115, 18, 203jcad 1120 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴)))
2214, 21impbid 204 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
23 velsn 4414 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
2422, 23syl6bbr 281 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
252, 24bitrd 271 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
2625eqrdv 2776 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  {csn 4398   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  [,]cicc 12490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-icc 12494
This theorem is referenced by:  ioounsn  12613  ioounsnOLD  12614  snunioo  12615  snunico  12616  snunioc  12617  prunioo  12618  icccmplem1  23033  ivthicc  23662  ioombl  23769  volivth  23811  mbfimasn  23836  itgspliticc  24040  dvivth  24210  cvmliftlem10  31875  mblfinlem2  34073  areacirc  34130  iocinico  38755  iocmbl  38756  snunioo1  40647  cncfiooicc  41035  vonsn  41832
  Copyright terms: Public domain W3C validator