Theorem iccid 13306

Description: A closed interval with identical lower and upper bounds is a singleton. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem iccid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13305	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
2	1	anidms 566	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
3		xrlenlt 11197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐴))
4		xrlenlt 11197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
5	4	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
6		xrlttri3 13057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
7	6	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
8	7	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
9	8	expcomd 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝑥 → (¬ 𝑥 < 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
10	5, 9	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 → (¬ 𝑥 < 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
11	10	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑥 < 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
12	3, 11	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴))))
14	13	3impd 1349	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴))
15		eleq1a 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ*))
16		xrleid 13065	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
17		breq2 5102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
18	16, 17	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝑥))
19		breq1 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
20	16, 19	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐴))
21	15, 18, 20	3jcad 1129	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
22	14, 21	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
23		velsn 4596	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
24	22, 23	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
25	2, 24	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
26	25	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  ioounsn  13393  snunioo  13394  snunico  13395  snunioc  13396  prunioo  13397  icccmplem1  24767  ivthicc  25415  ioombl  25522  volivth  25564  mbfimasn  25589  itgspliticc  25794  dvivth  25971  cvmliftlem10  35488  mblfinlem2  37859  areacirc  37914  iocinico  43454  iocmbl  43455  snunioo1  45758  cncfiooicc  46138  vonsn  46935  seppcld  49175