Theorem iccid 13334

Description: A closed interval with identical lower and upper bounds is a singleton. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem iccid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13333	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
2	1	anidms 571	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
3		xrlenlt 11201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐴))
4		xrlenlt 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
5	4	ancoms 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
6		xrlttri3 13085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
7	6	biimprd 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
8	7	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
9	8	expcomd 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝑥 → (¬ 𝑥 < 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
10	5, 9	sylbid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 → (¬ 𝑥 < 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
11	10	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑥 < 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
12	3, 11	sylbid 241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
13	12	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴))))
14	13	3impd 1355	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴))
15		eleq1a 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ*))
16		xrleid 13093	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
17		breq2 5076	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
18	16, 17	syl5ibrcom 248	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝑥))
19		breq1 5075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
20	16, 19	syl5ibrcom 248	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐴))
21	15, 18, 20	3jcad 1135	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
22	14, 21	impbid 213	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
23		velsn 4571	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
24	22, 23	bitr4di 290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
25	2, 24	bitrd 280	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
26	25	eqrdv 2737	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {csn 4555   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  [,]cicc 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-icc 13296

This theorem is referenced by:  ioounsn  13421  snunioo  13422  snunico  13423  snunioc  13424  prunioo  13425  icccmplem1  24806  ivthicc  25443  ioombl  25550  volivth  25592  mbfimasn  25617  itgspliticc  25822  dvivth  25995  cvmliftlem10  35522  mblfinlem2  38025  areacirc  38080  iocinico  43657  iocmbl  43658  snunioo1  45957  cncfiooicc  46337  vonsn  47134  seppcld  49420