Theorem iccid 13452

Description: A closed interval with identical lower and upper bounds is a singleton. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem iccid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
2	1	anidms 566	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
3		xrlenlt 11355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐴))
4		xrlenlt 11355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
5	4	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
6		xrlttri3 13205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
7	6	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
8	7	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
9	8	expcomd 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝑥 → (¬ 𝑥 < 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
10	5, 9	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐴 → (¬ 𝑥 < 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
11	10	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑥 < 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
12	3, 11	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴))))
14	13	3impd 1348	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴))
15		eleq1a 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ*))
16		xrleid 13213	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
17		breq2 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
18	16, 17	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ≤ 𝑥))
19		breq1 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
20	16, 19	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐴))
21	15, 18, 20	3jcad 1129	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
22	14, 21	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
23		velsn 4664	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
24	22, 23	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
25	2, 24	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
26	25	eqrdv 2738	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,]cicc 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-icc 13414

This theorem is referenced by:  ioounsn  13537  snunioo  13538  snunico  13539  snunioc  13540  prunioo  13541  icccmplem1  24863  ivthicc  25512  ioombl  25619  volivth  25661  mbfimasn  25686  itgspliticc  25892  dvivth  26069  cvmliftlem10  35262  mblfinlem2  37618  areacirc  37673  iocinico  43173  iocmbl  43174  snunioo1  45430  cncfiooicc  45815  vonsn  46612  seppcld  48609