MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmaxeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmaxeq 13221
Description: The maximum of two extended reals is equal to the first if the first is bigger. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxeq ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem xrmaxeq
StepHypRef Expression
1 xrletri3 13196 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐵)))
21ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐵)))
32biimpar 477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵𝐴𝐴𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
43anassrs 467 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
54ifeq1da 4557 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐴))
653impa 1110 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐴))
7 ifid 4566 . 2 if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐴) = 𝐴
86, 7eqtrdi 2793 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  *cxr 11294  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301
This theorem is referenced by:  max0sub  13238
  Copyright terms: Public domain W3C validator