MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmin2 13206
Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to one of them. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmin2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrmin2
StepHypRef Expression
1 xrleid 13179 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
2 iffalse 4541 . . . . 5 𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
32breq1d 5162 . . . 4 𝐴𝐵 → (if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵𝐵𝐵))
41, 3syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵))
5 iftrue 4538 . . . 4 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
6 id 22 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
75, 6eqbrtrd 5174 . . 3 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
84, 7pm2.61d2 181 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
98adantl 480 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wcel 2098  ifcif 4532   class class class wbr 5152  *cxr 11293  cle 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300
This theorem is referenced by:  xrltmin  13210  xrlemin  13212  min2  13218  mnfnei  23208  stdbdxmet  24507  stdbdmet  24508  stdbdmopn  24510  tgioo  24795  metnrmlem1  24858  ismbfd  25651  dvferm1lem  25999  lhop1  26030  stoweid  45621
  Copyright terms: Public domain W3C validator