MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmin2 13190
Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to one of them. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmin2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrmin2
StepHypRef Expression
1 xrleid 13163 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
2 iffalse 4538 . . . . 5 𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
32breq1d 5158 . . . 4 𝐴𝐵 → (if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵𝐵𝐵))
41, 3syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵))
5 iftrue 4535 . . . 4 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
6 id 22 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
75, 6eqbrtrd 5170 . . 3 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
84, 7pm2.61d2 181 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
98adantl 481 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2099  ifcif 4529   class class class wbr 5148  *cxr 11278  cle 11280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285
This theorem is referenced by:  xrltmin  13194  xrlemin  13196  min2  13202  mnfnei  23138  stdbdxmet  24437  stdbdmet  24438  stdbdmopn  24440  tgioo  24725  metnrmlem1  24788  ismbfd  25581  dvferm1lem  25929  lhop1  25960  stoweid  45451
  Copyright terms: Public domain W3C validator