MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmin2 13160
Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to one of them. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmin2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrmin2
StepHypRef Expression
1 xrleid 13133 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
2 iffalse 4532 . . . . 5 𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
32breq1d 5151 . . . 4 𝐴𝐵 → (if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵𝐵𝐵))
41, 3syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵))
5 iftrue 4529 . . . 4 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
6 id 22 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
75, 6eqbrtrd 5163 . . 3 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
84, 7pm2.61d2 181 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
98adantl 481 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141  *cxr 11248  cle 11250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255
This theorem is referenced by:  xrltmin  13164  xrlemin  13166  min2  13172  mnfnei  23076  stdbdxmet  24375  stdbdmet  24376  stdbdmopn  24378  tgioo  24663  metnrmlem1  24726  ismbfd  25519  dvferm1lem  25867  lhop1  25898  stoweid  45332
  Copyright terms: Public domain W3C validator