Theorem zextle 12567

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextle	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 11704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		breq1 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
5		breq1 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	6	rspcva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
8	3, 7	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	8	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
10		zre 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	leidd 11704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝑁)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑁)
13		breq1 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
14		breq1 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
15	13, 14	bibi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁)))
16	15	rspcva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
17	12, 16	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
18	17	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
19	9, 18	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
20	19	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
21		letri3 11219	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
22	1, 10, 21	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
23	20, 22	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
24	23	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   ≤ cle 11169  ℤcz 12489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-neg 11368  df-z 12490

This theorem is referenced by:  zextlt  12568