MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zextle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zextle 12660
Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
zextle ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextle
StepHypRef Expression
1 zre 12587 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 11805 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑀)
4 breq1 5146 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑀𝑀𝑀))
5 breq1 5146 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑁𝑀𝑁))
64, 5bibi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘𝑀𝑘𝑁) ↔ (𝑀𝑀𝑀𝑁)))
76rspcva 3606 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑀𝑀𝑀𝑁))
83, 7mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑁)
98adantlr 714 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑁)
10 zre 12587 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110leidd 11805 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑁)
13 breq1 5146 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝑀𝑁𝑀))
14 breq1 5146 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝑁𝑁𝑁))
1513, 14bibi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘𝑀𝑘𝑁) ↔ (𝑁𝑀𝑁𝑁)))
1615rspcva 3606 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑁𝑀𝑁𝑁))
1712, 16mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑀)
1817adantll 713 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑀)
199, 18jca 511 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
2019ex 412 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁) → (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
21 letri3 11324 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
221, 10, 21syl2an 595 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2320, 22sylibrd 259 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
24233impia 1115 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057   class class class wbr 5143  cr 11132  cle 11274  cz 12583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-neg 11472  df-z 12584
This theorem is referenced by:  zextlt  12661
  Copyright terms: Public domain W3C validator