Theorem zextle 12250

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextle	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		breq1 5056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
5		breq1 5056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
6	4, 5	bibi12d 349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	6	rspcva 3535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
8	3, 7	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	8	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
10		zre 12180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	leidd 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝑁)
12	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑁)
13		breq1 5056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
14		breq1 5056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
15	13, 14	bibi12d 349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁)))
16	15	rspcva 3535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
17	12, 16	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
18	17	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
19	9, 18	jca 515	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
20	19	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
21		letri3 10918	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
22	1, 10, 21	syl2an 599	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
23	20, 22	sylibrd 262	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
24	23	3impia 1119	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061   class class class wbr 5053  ℝcr 10728   ≤ cle 10868  ℤcz 12176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-neg 11065  df-z 12177

This theorem is referenced by:  zextlt  12251