Theorem zextle 12716

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextle	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 11856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑀)
4		breq1 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
5		breq1 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	6	rspcva 3633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
8	3, 7	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	8	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
10		zre 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	leidd 11856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝑁)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑁)
13		breq1 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
14		breq1 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
15	13, 14	bibi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁)))
16	15	rspcva 3633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
17	12, 16	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
18	17	adantll 713	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
19	9, 18	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
20	19	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
21		letri3 11375	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
22	1, 10, 21	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
23	20, 22	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
24	23	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   ≤ cle 11325  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-neg 11523  df-z 12640

This theorem is referenced by:  zextlt  12717