MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zdivmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zdivmul 12672
Description: Property of divisibility: if ๐ท divides ๐ด then it divides ๐ต ยท ๐ด. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
zdivmul (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด / ๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ท) โˆˆ โ„ค)

Proof of Theorem zdivmul
StepHypRef Expression
1 zcn 12601 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
213ad2ant2 1131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 zcn 12601 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
433ad2ant1 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 nncn 12258 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6 nnne0 12284 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โ‰  0)
75, 6jca 510 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))
873ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))
9 divass 11928 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ท) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ท)))
102, 4, 8, 9syl3anc 1368 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ท) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ท)))
11103comr 1122 . . 3 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ท) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ท)))
1211adantr 479 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด / ๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ท) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ท)))
13 zmulcl 12649 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด / ๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท (๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
14133ad2antl3 1184 . 2 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด / ๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท (๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
1512, 14eqeltrd 2829 1 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด / ๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ท) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146   ยท cmul 11151   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  โ„คcz 12596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator