MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zdivmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zdivmul 12032
Description: Property of divisibility: if 𝐷 divides 𝐴 then it divides 𝐵 · 𝐴. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
zdivmul (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zdivmul
StepHypRef Expression
1 zcn 11964 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
213ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 zcn 11964 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
433ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 nncn 11623 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
6 nnne0 11649 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ≠ 0)
75, 6jca 515 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
873ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
9 divass 11293 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
102, 4, 8, 9syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
11103comr 1122 . . 3 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
1211adantr 484 . 2 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
13 zmulcl 12009 . . 3 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
14133ad2antl3 1184 . 2 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
1512, 14eqeltrd 2912 1 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  (class class class)co 7130  cc 10512  0cc0 10514   · cmul 10519   / cdiv 11274  cn 11615  cz 11959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator