![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 127 of 484) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30767) |
![]() (30768-32290) |
![]() (32291-48346) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | elz2 12601* | Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข (๐ โ โค โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ = (๐ฅ โ ๐ฆ)) | ||
Theorem | dfz2 12602 | Alternative definition of the integers, based on elz2 12601. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข โค = ( โ โ (โ ร โ)) | ||
Theorem | zexALT 12603 | Alternate proof of zex 12592. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข โค โ V | ||
Theorem | nnz 12604 | A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 29-Nov-2022.) |
โข (๐ โ โ โ ๐ โ โค) | ||
Theorem | nnssz 12605 | Positive integers are a subset of integers. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) |
โข โ โ โค | ||
Theorem | nn0ssz 12606 | Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) |
โข โ0 โ โค | ||
Theorem | nnzOLD 12607 | Obsolete version of nnz 12604 as of 1-Feb-2025. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข (๐ โ โ โ ๐ โ โค) | ||
Theorem | nn0z 12608 | A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.) |
โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ โค) | ||
Theorem | nn0zd 12609 | A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ0) โ โข (๐ โ ๐ด โ โค) | ||
Theorem | nnzd 12610 | A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ ๐ด โ โค) | ||
Theorem | nnzi 12611 | A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ โ โข ๐ โ โค | ||
Theorem | nn0zi 12612 | A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 โ โข ๐ โ โค | ||
Theorem | elnnz1 12613 | Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ โค โง 1 โค ๐)) | ||
Theorem | znnnlt1 12614 | An integer is not a positive integer iff it is less than one. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) |
โข (๐ โ โค โ (ยฌ ๐ โ โ โ ๐ < 1)) | ||
Theorem | nnzrab 12615 | Positive integers expressed as a subset of integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) |
โข โ = {๐ฅ โ โค โฃ 1 โค ๐ฅ} | ||
Theorem | nn0zrab 12616 | Nonnegative integers expressed as a subset of integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) |
โข โ0 = {๐ฅ โ โค โฃ 0 โค ๐ฅ} | ||
Theorem | 1z 12617 | One is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.) |
โข 1 โ โค | ||
Theorem | 1zzd 12618 | One is an integer, deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 6-Dec-2018.) |
โข (๐ โ 1 โ โค) | ||
Theorem | 2z 12619 | 2 is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.) |
โข 2 โ โค | ||
Theorem | 3z 12620 | 3 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.) |
โข 3 โ โค | ||
Theorem | 4z 12621 | 4 is an integer. (Contributed by BJ, 26-Mar-2020.) |
โข 4 โ โค | ||
Theorem | znegcl 12622 | Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) |
โข (๐ โ โค โ -๐ โ โค) | ||
Theorem | neg1z 12623 | -1 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 5-Dec-2018.) |
โข -1 โ โค | ||
Theorem | znegclb 12624 | A complex number is an integer iff its negative is. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ โค โ -๐ด โ โค)) | ||
Theorem | nn0negz 12625 | The negative of a nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.) |
โข (๐ โ โ0 โ -๐ โ โค) | ||
Theorem | nn0negzi 12626 | The negative of a nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 โ โข -๐ โ โค | ||
Theorem | zaddcl 12627 | Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ + ๐) โ โค) | ||
Theorem | peano2z 12628 | Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) |
โข (๐ โ โค โ (๐ + 1) โ โค) | ||
Theorem | zsubcl 12629 | Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โ ๐) โ โค) | ||
Theorem | peano2zm 12630 | "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.) |
โข (๐ โ โค โ (๐ โ 1) โ โค) | ||
Theorem | zletr 12631 | Transitive law of ordering for integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.) |
โข ((๐ฝ โ โค โง ๐พ โ โค โง ๐ฟ โ โค) โ ((๐ฝ โค ๐พ โง ๐พ โค ๐ฟ) โ ๐ฝ โค ๐ฟ)) | ||
Theorem | zrevaddcl 12632 | Reverse closure law for addition of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ โ โ โง (๐ + ๐) โ โค) โ ๐ โ โค)) | ||
Theorem | znnsub 12633 | The positive difference of unequal integers is a positive integer. (Generalization of nnsub 12281.) (Contributed by NM, 11-May-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ < ๐ โ (๐ โ ๐) โ โ)) | ||
Theorem | znn0sub 12634 | The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Generalization of nn0sub 12547.) (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โค ๐ โ (๐ โ ๐) โ โ0)) | ||
Theorem | nzadd 12635 | The sum of a real number not being an integer and an integer is not an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ (โ โ โค) โง ๐ต โ โค) โ (๐ด + ๐ต) โ (โ โ โค)) | ||
Theorem | zmulcl 12636 | Closure of multiplication of integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) | ||
Theorem | zltp1le 12637 | Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ < ๐ โ (๐ + 1) โค ๐)) | ||
Theorem | zleltp1 12638 | Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โค ๐ โ ๐ < (๐ + 1))) | ||
Theorem | zlem1lt 12639 | Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โค ๐ โ (๐ โ 1) < ๐)) | ||
Theorem | zltlem1 12640 | Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ < ๐ โ ๐ โค (๐ โ 1))) | ||
Theorem | zgt0ge1 12641 | An integer greater than 0 is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 14-Oct-2018.) |
โข (๐ โ โค โ (0 < ๐ โ 1 โค ๐)) | ||
Theorem | nnleltp1 12642 | Positive integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Aug-2001.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โค ๐ต โ ๐ด < (๐ต + 1))) | ||
Theorem | nnltp1le 12643 | Positive integer ordering relation. (Contributed by NM, 19-Aug-2001.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด + 1) โค ๐ต)) | ||
Theorem | nnaddm1cl 12644 | Closure of addition of positive integers minus one. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) โ 1) โ โ) | ||
Theorem | nn0ltp1le 12645 | Nonnegative integer ordering relation. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ < ๐ โ (๐ + 1) โค ๐)) | ||
Theorem | nn0leltp1 12646 | Nonnegative integer ordering relation. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ โค ๐ โ ๐ < (๐ + 1))) | ||
Theorem | nn0ltlem1 12647 | Nonnegative integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ < ๐ โ ๐ โค (๐ โ 1))) | ||
Theorem | nn0sub2 12648 | Subtraction of nonnegative integers. (Contributed by NM, 4-Sep-2005.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0 โง ๐ โค ๐) โ (๐ โ ๐) โ โ0) | ||
Theorem | nn0lt10b 12649 | A nonnegative integer less than 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.) |
โข (๐ โ โ0 โ (๐ < 1 โ ๐ = 0)) | ||
Theorem | nn0lt2 12650 | A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ < 2) โ (๐ = 0 โจ ๐ = 1)) | ||
Theorem | nn0le2is012 12651 | A nonnegative integer which is less than or equal to 2 is either 0 or 1 or 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โค 2) โ (๐ = 0 โจ ๐ = 1 โจ ๐ = 2)) | ||
Theorem | nn0lem1lt 12652 | Nonnegative integer ordering relation. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ โค ๐ โ (๐ โ 1) < ๐)) | ||
Theorem | nnlem1lt 12653 | Positive integer ordering relation. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โค ๐ โ (๐ โ 1) < ๐)) | ||
Theorem | nnltlem1 12654 | Positive integer ordering relation. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ < ๐ โ ๐ โค (๐ โ 1))) | ||
Theorem | nnm1ge0 12655 | A positive integer decreased by 1 is greater than or equal to 0. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.) |
โข (๐ โ โ โ 0 โค (๐ โ 1)) | ||
Theorem | nn0ge0div 12656 | Division of a nonnegative integer by a positive number is not negative. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.) |
โข ((๐พ โ โ0 โง ๐ฟ โ โ) โ 0 โค (๐พ / ๐ฟ)) | ||
Theorem | zdiv 12657* | Two ways to express "๐ divides ๐". (Contributed by NM, 3-Oct-2008.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค) โ (โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐ โ (๐ / ๐) โ โค)) | ||
Theorem | zdivadd 12658 | Property of divisibility: if ๐ท divides ๐ด and ๐ต then it divides ๐ด + ๐ต. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.) |
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ((๐ด / ๐ท) โ โค โง (๐ต / ๐ท) โ โค)) โ ((๐ด + ๐ต) / ๐ท) โ โค) | ||
Theorem | zdivmul 12659 | Property of divisibility: if ๐ท divides ๐ด then it divides ๐ต ยท ๐ด. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.) |
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง (๐ด / ๐ท) โ โค) โ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ท) โ โค) | ||
Theorem | zextle 12660* | An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง โ๐ โ โค (๐ โค ๐ โ ๐ โค ๐)) โ ๐ = ๐) | ||
Theorem | zextlt 12661* | An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง โ๐ โ โค (๐ < ๐ โ ๐ < ๐)) โ ๐ = ๐) | ||
Theorem | recnz 12662 | The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง 1 < ๐ด) โ ยฌ (1 / ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | btwnnz 12663 | A number between an integer and its successor is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด < ๐ต โง ๐ต < (๐ด + 1)) โ ยฌ ๐ต โ โค) | ||
Theorem | gtndiv 12664 | A larger number does not divide a smaller positive integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต < ๐ด) โ ยฌ (๐ต / ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | halfnz 12665 | One-half is not an integer. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) |
โข ยฌ (1 / 2) โ โค | ||
Theorem | 3halfnz 12666 | Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) |
โข ยฌ (3 / 2) โ โค | ||
Theorem | suprzcl 12667* | The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด โ โ โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฆ โค ๐ฅ) โ sup(๐ด, โ, < ) โ ๐ด) | ||
Theorem | prime 12668* | Two ways to express "๐ด is a prime number (or 1)". See also isprm 16638. (Contributed by NM, 4-May-2005.) |
โข (๐ด โ โ โ (โ๐ฅ โ โ ((๐ด / ๐ฅ) โ โ โ (๐ฅ = 1 โจ ๐ฅ = ๐ด)) โ โ๐ฅ โ โ ((1 < ๐ฅ โง ๐ฅ โค ๐ด โง (๐ด / ๐ฅ) โ โ) โ ๐ฅ = ๐ด))) | ||
Theorem | msqznn 12669 | The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด โ 0) โ (๐ด ยท ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | zneo 12670 | No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (2 ยท ๐ด) โ ((2 ยท ๐ต) + 1)) | ||
Theorem | nneo 12671 | A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.) |
โข (๐ โ โ โ ((๐ / 2) โ โ โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โ)) | ||
Theorem | nneoi 12672 | A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) |
โข ๐ โ โ โ โข ((๐ / 2) โ โ โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โ) | ||
Theorem | zeo 12673 | An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ / 2) โ โค โจ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) | ||
Theorem | zeo2 12674 | An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ / 2) โ โค โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) | ||
Theorem | peano2uz2 12675* | Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ {๐ฅ โ โค โฃ ๐ด โค ๐ฅ}) โ (๐ต + 1) โ {๐ฅ โ โค โฃ ๐ด โค ๐ฅ}) | ||
Theorem | peano5uzi 12676* | Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.) |
โข ๐ โ โค โ โข ((๐ โ ๐ด โง โ๐ฅ โ ๐ด (๐ฅ + 1) โ ๐ด) โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐} โ ๐ด) | ||
Theorem | peano5uzti 12677* | Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ โ ๐ด โง โ๐ฅ โ ๐ด (๐ฅ + 1) โ ๐ด) โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐} โ ๐ด)) | ||
Theorem | dfuzi 12678* | An expression for the upper integers that start at ๐ that is analogous to dfnn2 12250 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.) |
โข ๐ โ โค โ โข {๐ง โ โค โฃ ๐ โค ๐ง} = โฉ {๐ฅ โฃ (๐ โ ๐ฅ โง โ๐ฆ โ ๐ฅ (๐ฆ + 1) โ ๐ฅ)} | ||
Theorem | uzind 12679* | Induction on the upper integers that start at ๐. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.) |
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โค โ ๐) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โค ๐) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โค ๐) โ ๐) | ||
Theorem | uzind2 12680* | Induction on the upper integers that start after an integer ๐. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 25-Jul-2005.) |
โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โค โ ๐) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ < ๐) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ < ๐) โ ๐) | ||
Theorem | uzind3 12681* | Induction on the upper integers that start at an integer ๐. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 26-Jul-2005.) |
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โค โ ๐) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐}) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐}) โ ๐) | ||
Theorem | nn0ind 12682* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ0 โ ๐) | ||
Theorem | nn0indALT 12683* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The last four hypotheses give us the substitution instances we need; the first two are the basis and the induction step. Either nn0ind 12682 or nn0indALT 12683 may be used; see comment for nnind 12255. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) |
โข (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ0 โ ๐) | ||
Theorem | nn0indd 12684* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐) & โข (((๐ โง ๐ฆ โ โ0) โง ๐) โ ๐) โ โข ((๐ โง ๐ด โ โ0) โ ๐) | ||
Theorem | fzind 12685* | Induction on the integers from ๐ to ๐ inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) |
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐พ โ (๐ โ ๐)) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โค ๐) โ ๐) & โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ฆ โ โค โง ๐ โค ๐ฆ โง ๐ฆ < ๐)) โ (๐ โ ๐)) โ โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง ๐ โค ๐พ โง ๐พ โค ๐)) โ ๐) | ||
Theorem | fnn0ind 12686* | Induction on the integers from 0 to ๐ inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐พ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โ0 โ ๐) & โข ((๐ โ โ0 โง ๐ฆ โ โ0 โง ๐ฆ < ๐) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โ0 โง ๐พ โค ๐) โ ๐) | ||
Theorem | nn0ind-raph 12687* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Raph Levien remarks: "This seems a bit painful. I wonder if an explicit substitution version would be easier." (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ0 โ ๐) | ||
Theorem | zindd 12688* | Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = -๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐))) & โข (๐ โ (๐ฆ โ โ โ (๐ โ ๐))) โ โข (๐ โ (๐ด โ โค โ ๐)) | ||
Theorem | fzindd 12689* | Induction on the integers from M to N inclusive, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐) & โข ((๐ โง (๐ฆ โ โค โง ๐ โค ๐ฆ โง ๐ฆ < ๐) โง ๐) โ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โค ๐) โ โข ((๐ โง (๐ด โ โค โง ๐ โค ๐ด โง ๐ด โค ๐)) โ ๐) | ||
Theorem | btwnz 12690* | Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.) |
โข (๐ด โ โ โ (โ๐ฅ โ โค ๐ฅ < ๐ด โง โ๐ฆ โ โค ๐ด < ๐ฆ)) | ||
Theorem | zred 12691 | An integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | zcnd 12692 | An integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | znegcld 12693 | Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ -๐ด โ โค) | ||
Theorem | peano2zd 12694 | Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด + 1) โ โค) | ||
Theorem | zaddcld 12695 | Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โค) | ||
Theorem | zsubcld 12696 | Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โ โค) | ||
Theorem | zmulcld 12697 | Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โ โค) | ||
Theorem | znnn0nn 12698 | The negative of a negative integer, is a natural number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
โข ((๐ โ โค โง ยฌ ๐ โ โ0) โ -๐ โ โ) | ||
Theorem | zadd2cl 12699 | Increasing an integer by 2 results in an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) |
โข (๐ โ โค โ (๐ + 2) โ โค) | ||
Theorem | zriotaneg 12700* | The negative of the unique integer such that ๐. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.) |
โข (๐ฅ = -๐ฆ โ (๐ โ ๐)) โ โข (โ!๐ฅ โ โค ๐ โ (โฉ๐ฅ โ โค ๐) = -(โฉ๐ฆ โ โค ๐)) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |