Theorem zextlt 12542

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextlt	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltlem1 12520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ (𝑀 − 1)))
2	1	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 ≤ (𝑀 − 1)))
3		zltlem1 12520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4	3	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
5	2, 4	bibi12d 345	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) ↔ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
6	5	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) ↔ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
7	6	ralbidva 3153	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
8		peano2zm 12510	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
9		peano2zm 12510	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
10		zextle 12541	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))) → (𝑀 − 1) = (𝑁 − 1))
11	10	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)) → (𝑀 − 1) = (𝑁 − 1)))
12	8, 9, 11	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)) → (𝑀 − 1) = (𝑁 − 1)))
13		zcn 12468	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		zcn 12468	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		ax-1cn 11059	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		subcan2 11381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) = (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 = 𝑁))
17	15, 16	mp3an3 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) = (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 = 𝑁))
18	13, 14, 17	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) = (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 = 𝑁))
19	12, 18	sylibd 239	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)) → 𝑀 = 𝑁))
20	7, 19	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
21	20	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  1c1 11002   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339  ℤcz 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464

This theorem is referenced by: (None)