New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  2elresin GIF version

Theorem 2elresin 5194
 Description: Membership in two functions restricted by each other's domain. (Contributed by set.mm contributors, 8-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
2elresin ((F Fn A G Fn B) → ((x, y F x, z G) ↔ (x, y (F (AB)) x, z (G (AB)))))

Proof of Theorem 2elresin
StepHypRef Expression
1 fnop 5186 . . . . . . 7 ((F Fn A x, y F) → x A)
2 fnop 5186 . . . . . . 7 ((G Fn B x, z G) → x B)
31, 2anim12i 549 . . . . . 6 (((F Fn A x, y F) (G Fn B x, z G)) → (x A x B))
4 an4 797 . . . . . 6 (((F Fn A G Fn B) (x, y F x, z G)) ↔ ((F Fn A x, y F) (G Fn B x, z G)))
5 elin 3219 . . . . . 6 (x (AB) ↔ (x A x B))
63, 4, 53imtr4i 257 . . . . 5 (((F Fn A G Fn B) (x, y F x, z G)) → x (AB))
7 opelres 4950 . . . . . . 7 (x, y (F (AB)) ↔ (x, y F x (AB)))
87simplbi2com 1374 . . . . . 6 (x (AB) → (x, y Fx, y (F (AB))))
9 opelres 4950 . . . . . . 7 (x, z (G (AB)) ↔ (x, z G x (AB)))
109simplbi2com 1374 . . . . . 6 (x (AB) → (x, z Gx, z (G (AB))))
118, 10anim12d 546 . . . . 5 (x (AB) → ((x, y F x, z G) → (x, y (F (AB)) x, z (G (AB)))))
126, 11syl 15 . . . 4 (((F Fn A G Fn B) (x, y F x, z G)) → ((x, y F x, z G) → (x, y (F (AB)) x, z (G (AB)))))
1312ex 423 . . 3 ((F Fn A G Fn B) → ((x, y F x, z G) → ((x, y F x, z G) → (x, y (F (AB)) x, z (G (AB))))))
1413pm2.43d 44 . 2 ((F Fn A G Fn B) → ((x, y F x, z G) → (x, y (F (AB)) x, z (G (AB)))))
15 resss 4988 . . . 4 (F (AB)) F
1615sseli 3269 . . 3 (x, y (F (AB)) → x, y F)
17 resss 4988 . . . 4 (G (AB)) G
1817sseli 3269 . . 3 (x, z (G (AB)) → x, z G)
1916, 18anim12i 549 . 2 ((x, y (F (AB)) x, z (G (AB))) → (x, y F x, z G))
2014, 19impbid1 194 1 ((F Fn A G Fn B) → ((x, y F x, z G) ↔ (x, y (F (AB)) x, z (G (AB)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∈ wcel 1710   ∩ cin 3208  ⟨cop 4561   ↾ cres 4774   Fn wfn 4776 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ima 4727  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fn 4790 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator