Theorem breq2 4643

Description: Equality theorem for a binary relation. (Contributed by NM, 31-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
breq2	⊢ (A = B → (CRA ↔ CRB))

Proof of Theorem breq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 4579	. . 3 ⊢ (A = B → ⟨C, A⟩ = ⟨C, B⟩)
2	1	eleq1d 2419	. 2 ⊢ (A = B → (⟨C, A⟩ ∈ R ↔ ⟨C, B⟩ ∈ R))
3		df-br 4640	. 2 ⊢ (CRA ↔ ⟨C, A⟩ ∈ R)
4		df-br 4640	. 2 ⊢ (CRB ↔ ⟨C, B⟩ ∈ R)
5	2, 3, 4	3bitr4g 279	1 ⊢ (A = B → (CRA ↔ CRB))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4561   class class class wbr 4639

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-br 4640

This theorem is referenced by:  breq12  4644  breq2i  4647  breq2d  4651  nbrne1  4656  elima  4754  vtoclr  4816  brco  4883  brcnv  4892  dfdmf  4905  dfrnf  4962  dfres2  5002  elimasn  5019  intirr  5029  df2nd2  5111  dffun3  5120  dffun6f  5123  fun11  5159  fv3  5341  tz6.12-1  5344  tz6.12c  5347  tz6.12i  5348  funfv2f  5377  isorel  5489  isocnv  5491  isotr  5495  f1oiso  5499  f1oiso2  5500  opbr1st  5501  opbr2nd  5502  caovord  5629  brsnsi  5773  brsnsi2  5776  trtxp  5781  addcfnex  5824  brfns  5833  qrpprod  5836  fnfullfunlem1  5856  fvfullfunlem1  5861  clos1conn  5879  clos1basesuc  5882  trd  5921  extd  5923  symd  5924  antid  5929  connexd  5931  idssen  6040  enadj  6060  enpw1lem1  6061  enpw1  6062  enmap2lem1  6063  enmap2  6068  enmap1lem1  6069  enprmaplem3  6078  enpw  6087  ovmuc  6130  mucex  6133  1cnc  6139  ovcelem1  6171  ceex  6174  sbthlem2  6204  dflec2  6210  lectr  6211  nc0le1  6216  leconnnc  6218  taddc  6229  tlecg  6230  ce2le  6233  nclenn  6249  nnltp1clem1  6261  lecadd2  6266  ncslesuc  6267  nmembers1lem1  6268  nmembers1lem3  6270  nmembers1  6271  nchoicelem4  6292  nchoicelem11  6299  nchoicelem19  6307  fnfrec  6320