Theorem breq2 4644

Description: Equality theorem for a binary relation. (Contributed by NM, 31-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
breq2	⊢ (A = B → (CRA ↔ CRB))

Proof of Theorem breq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 4580	. . 3 ⊢ (A = B → ⟨C, A⟩ = ⟨C, B⟩)
2	1	eleq1d 2419	. 2 ⊢ (A = B → (⟨C, A⟩ ∈ R ↔ ⟨C, B⟩ ∈ R))
3		df-br 4641	. 2 ⊢ (CRA ↔ ⟨C, A⟩ ∈ R)
4		df-br 4641	. 2 ⊢ (CRB ↔ ⟨C, B⟩ ∈ R)
5	2, 3, 4	3bitr4g 279	1 ⊢ (A = B → (CRA ↔ CRB))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4562   class class class wbr 4640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-phi 4566  df-op 4567  df-br 4641

This theorem is referenced by:  breq12  4645  breq2i  4648  breq2d  4652  nbrne1  4657  elima  4755  vtoclr  4817  brco  4884  brcnv  4893  dfdmf  4906  dfrnf  4963  dfres2  5003  elimasn  5020  intirr  5030  df2nd2  5112  dffun3  5121  dffun6f  5124  fun11  5160  fv3  5342  tz6.12-1  5345  tz6.12c  5348  tz6.12i  5349  funfv2f  5378  isorel  5490  isocnv  5492  isotr  5496  f1oiso  5500  f1oiso2  5501  opbr1st  5502  opbr2nd  5503  caovord  5630  brsnsi  5774  brsnsi2  5777  trtxp  5782  addcfnex  5825  brfns  5834  qrpprod  5837  fnfullfunlem1  5857  fvfullfunlem1  5862  clos1conn  5880  clos1basesuc  5883  trd  5922  extd  5924  symd  5925  antid  5930  connexd  5932  idssen  6041  enadj  6061  enpw1lem1  6062  enpw1  6063  enmap2lem1  6064  enmap2  6069  enmap1lem1  6070  enprmaplem3  6079  enpw  6088  ovmuc  6131  mucex  6134  1cnc  6140  ovcelem1  6172  ceex  6175  sbthlem2  6205  dflec2  6211  lectr  6212  nc0le1  6217  leconnnc  6219  taddc  6230  tlecg  6231  ce2le  6234  nclenn  6250  nnltp1clem1  6262  lecadd2  6267  ncslesuc  6268  nmembers1lem1  6269  nmembers1lem3  6271  nmembers1  6272  nchoicelem4  6293  nchoicelem11  6300  nchoicelem19  6308  fnfrec  6321