ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-mulext Unicode version
Theorem axpre-mulext 8071
Description: Strong extensionality of multiplication (expressed in terms of <RR). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulext 8113.

(Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axpre-mulext |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
Proof of Theorem axpre-mulext
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 8011 . 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2 elreal 8011 . 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3 elreal 8011 . 2 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4 oveq1 6007 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = ( A x. <. z , 0R >. ) )
54breq1d 4092 . . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) ) )
6 breq1 4085 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
7 breq2 4086 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> <. y , 0R >. <RR A ) )
86, 7orbi12d 798 . . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
95, 8imbi12d 234 . 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) ) <-> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) ) )
10 oveq1 6007 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = ( B x. <. z , 0R >. ) )
1110breq2d 4094 . . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) ) )
12 breq2 4086 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
13 breq1 4085 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR A <-> B <RR A ) )
1412, 13orbi12d 798 . . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
1511, 14imbi12d 234 . 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) <-> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) ) )
16 oveq2 6008 . . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( A x. <. z , 0R >. ) = ( A x. C ) )
17 oveq2 6008 . . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( B x. <. z , 0R >. ) = ( B x. C ) )
1816, 17breq12d 4095 . . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. C ) <RR ( B x. C ) ) )
1918imbi1d 231 . 2 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) <-> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) ) )
20 mulextsr1 7964 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( x .R z ) <R ( y .R z ) -> ( x <R y \/ y <R x ) ) )
21 mulresr 8021 . . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( x .R z ) , 0R >. )
22213adant2 1040 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( x .R z ) , 0R >. )
23 mulresr 8021 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
24233adant1 1039 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
2522, 24breq12d 4095 . . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> <. ( x .R z ) , 0R >. <RR <. ( y .R z ) , 0R >. ) )
26 ltresr 8022 . . . 4 |- ( <. ( x .R z ) , 0R >. <RR <. ( y .R z ) , 0R >. <-> ( x .R z ) <R ( y .R z ) )
2725, 26bitrdi 196 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( x .R z ) <R ( y .R z ) ) )
28 ltresr 8022 . . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
29 ltresr 8022 . . . . 5 |- ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> y <R x )
3028, 29orbi12i 769 . . . 4 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) )
3130a1i 9 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) ) )
3220, 27, 313imtr4d 203 . 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) ) )
331, 2, 3, 9, 15, 19, 323gencl 2834 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   R.cnr 7480   0Rc0r 7481   .R cmr 7485   <R cltr 7486   RRcr 7994   <RR cltrr 7999   x. cmul 8000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-lti 7490  df-plpq 7527  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535  df-ltnqqs 7536  df-enq0 7607  df-nq0 7608  df-0nq0 7609  df-plq0 7610  df-mq0 7611  df-inp 7649  df-i1p 7650  df-iplp 7651  df-imp 7652  df-iltp 7653  df-enr 7909  df-nr 7910  df-plr 7911  df-mr 7912  df-ltr 7913  df-0r 7914  df-m1r 7916  df-c 8001  df-r 8005  df-mul 8007  df-lt 8008
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator