Theorem axpre-mulext 7886

Description: Strong extensionality of multiplication (expressed in terms of <RR). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulext 7928.

(Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-mulext	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )

Proof of Theorem axpre-mulext

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7826	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7826	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 7826	. 2 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		oveq1 5881	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = ( A x. <. z , 0R >. ) )
5	4	breq1d 4013	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) ) )
6		breq1 4006	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
7		breq2 4007	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> <. y , 0R >. <RR A ) )
8	6, 7	orbi12d 793	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
9	5, 8	imbi12d 234	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) ) <-> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) ) )
10		oveq1 5881	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = ( B x. <. z , 0R >. ) )
11	10	breq2d 4015	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) ) )
12		breq2 4007	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
13		breq1 4006	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR A <-> B <RR A ) )
14	12, 13	orbi12d 793	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
15	11, 14	imbi12d 234	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) <-> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) ) )
16		oveq2 5882	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( A x. <. z , 0R >. ) = ( A x. C ) )
17		oveq2 5882	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( B x. <. z , 0R >. ) = ( B x. C ) )
18	16, 17	breq12d 4016	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. C ) <RR ( B x. C ) ) )
19	18	imbi1d 231	. 2 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) <-> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) ) )
20		mulextsr1 7779	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( x .R z ) <R ( y .R z ) -> ( x <R y \/ y <R x ) ) )
21		mulresr 7836	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( x .R z ) , 0R >. )
22	21	3adant2 1016	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( x .R z ) , 0R >. )
23		mulresr 7836	. . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
24	23	3adant1 1015	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
25	22, 24	breq12d 4016	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> <. ( x .R z ) , 0R >. <RR <. ( y .R z ) , 0R >. ) )
26		ltresr 7837	. . . 4 |- ( <. ( x .R z ) , 0R >. <RR <. ( y .R z ) , 0R >. <-> ( x .R z ) <R ( y .R z ) )
27	25, 26	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( x .R z ) <R ( y .R z ) ) )
28		ltresr 7837	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
29		ltresr 7837	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> y <R x )
30	28, 29	orbi12i 764	. . . 4 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) )
31	30	a1i 9	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) ) )
32	20, 27, 31	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) ) )
33	1, 2, 3, 9, 15, 19, 32	3gencl 2771	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3595   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   R.cnr 7295   0Rc0r 7296   .R cmr 7300   <R cltr 7301   RRcr 7809   <RR cltrr 7814   x. cmul 7815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-iplp 7466  df-imp 7467  df-iltp 7468  df-enr 7724  df-nr 7725  df-plr 7726  df-mr 7727  df-ltr 7728  df-0r 7729  df-m1r 7731  df-c 7816  df-r 7820  df-mul 7822  df-lt 7823

This theorem is referenced by: (None)