ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-mulext Unicode version
Theorem axpre-mulext 8151
Description: Strong extensionality of multiplication (expressed in terms of <RR). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulext 8193.

(Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axpre-mulext |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
Proof of Theorem axpre-mulext
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 8091 . 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2 elreal 8091 . 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3 elreal 8091 . 2 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4 oveq1 6035 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = ( A x. <. z , 0R >. ) )
54breq1d 4103 . . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) ) )
6 breq1 4096 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
7 breq2 4097 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> <. y , 0R >. <RR A ) )
86, 7orbi12d 801 . . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
95, 8imbi12d 234 . 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) ) <-> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) ) )
10 oveq1 6035 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = ( B x. <. z , 0R >. ) )
1110breq2d 4105 . . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) ) )
12 breq2 4097 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
13 breq1 4096 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR A <-> B <RR A ) )
1412, 13orbi12d 801 . . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
1511, 14imbi12d 234 . 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) <-> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) ) )
16 oveq2 6036 . . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( A x. <. z , 0R >. ) = ( A x. C ) )
17 oveq2 6036 . . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( B x. <. z , 0R >. ) = ( B x. C ) )
1816, 17breq12d 4106 . . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. C ) <RR ( B x. C ) ) )
1918imbi1d 231 . 2 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) <-> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) ) )
20 mulextsr1 8044 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( x .R z ) <R ( y .R z ) -> ( x <R y \/ y <R x ) ) )
21 mulresr 8101 . . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( x .R z ) , 0R >. )
22213adant2 1043 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( x .R z ) , 0R >. )
23 mulresr 8101 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
24233adant1 1042 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
2522, 24breq12d 4106 . . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> <. ( x .R z ) , 0R >. <RR <. ( y .R z ) , 0R >. ) )
26 ltresr 8102 . . . 4 |- ( <. ( x .R z ) , 0R >. <RR <. ( y .R z ) , 0R >. <-> ( x .R z ) <R ( y .R z ) )
2725, 26bitrdi 196 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( x .R z ) <R ( y .R z ) ) )
28 ltresr 8102 . . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
29 ltresr 8102 . . . . 5 |- ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> y <R x )
3028, 29orbi12i 772 . . . 4 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) )
3130a1i 9 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) ) )
3220, 27, 313imtr4d 203 . 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) ) )
331, 2, 3, 9, 15, 19, 323gencl 2838 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   <.cop 3676   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   R.cnr 7560   0Rc0r 7561   .R cmr 7565   <R cltr 7566   RRcr 8074   <RR cltrr 8079   x. cmul 8080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-0nq0 7689  df-plq0 7690  df-mq0 7691  df-inp 7729  df-i1p 7730  df-iplp 7731  df-imp 7732  df-iltp 7733  df-enr 7989  df-nr 7990  df-plr 7991  df-mr 7992  df-ltr 7993  df-0r 7994  df-m1r 7996  df-c 8081  df-r 8085  df-mul 8087  df-lt 8088
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator