ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-mulext Unicode version

Theorem axpre-mulext 7413
Description: Strong extensionality of multiplication (expressed in terms of  <RR). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulext 7453.

(Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axpre-mulext  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  x.  C
)  <RR  ( B  x.  C )  ->  ( A  <RR  B  \/  B  <RR  A ) ) )

Proof of Theorem axpre-mulext
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7356 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 7356 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 elreal 7356 . 2  |-  ( C  e.  RR  <->  E. z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  C )
4 oveq1 5651 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  ( A  x.  <. z ,  0R >. ) )
54breq1d 3853 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. ) 
<RR  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  <->  ( A  x.  <. z ,  0R >. ) 
<RR  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. ) ) )
6 breq1 3846 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
7 breq2 3847 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  <. y ,  0R >. 
<RR  A ) )
86, 7orbi12d 742 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A ) ) )
95, 8imbi12d 232 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
( <. x ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  <RR  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. ) )  <->  ( ( A  x.  <. z ,  0R >. )  <RR  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  ->  ( A  <RR  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  A ) ) ) )
10 oveq1 5651 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  ( B  x.  <. z ,  0R >. ) )
1110breq2d 3855 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  x.  <. z ,  0R >. )  <RR  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  <-> 
( A  x.  <. z ,  0R >. )  <RR  ( B  x.  <. z ,  0R >. )
) )
12 breq2 3847 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
13 breq1 3846 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  A  <->  B  <RR  A ) )
1412, 13orbi12d 742 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  A )  <->  ( A  <RR  B  \/  B  <RR  A ) ) )
1511, 14imbi12d 232 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
( A  x.  <. z ,  0R >. )  <RR  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  A ) )  <->  ( ( A  x.  <. z ,  0R >. )  <RR  ( B  x.  <. z ,  0R >. )  ->  ( A  <RR  B  \/  B  <RR  A ) ) ) )
16 oveq2 5652 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( A  x.  <. z ,  0R >. )  =  ( A  x.  C ) )
17 oveq2 5652 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( B  x.  <. z ,  0R >. )  =  ( B  x.  C ) )
1816, 17breq12d 3856 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  x.  <. z ,  0R >. )  <RR  ( B  x.  <. z ,  0R >. )  <->  ( A  x.  C )  <RR  ( B  x.  C ) ) )
1918imbi1d 229 . 2  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( (
( A  x.  <. z ,  0R >. )  <RR  ( B  x.  <. z ,  0R >. )  ->  ( A  <RR  B  \/  B  <RR  A ) )  <-> 
( ( A  x.  C )  <RR  ( B  x.  C )  -> 
( A  <RR  B  \/  B  <RR  A ) ) ) )
20 mulextsr1 7316 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
( x  .R  z
)  <R  ( y  .R  z )  ->  (
x  <R  y  \/  y  <R  x ) ) )
21 mulresr 7365 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  z ) ,  0R >. )
22213adant2 962 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  <. ( x  .R  z ) ,  0R >. )
23 mulresr 7365 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  <. (
y  .R  z ) ,  0R >. )
24233adant1 961 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  <. ( y  .R  z ) ,  0R >. )
2522, 24breq12d 3856 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
( <. x ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  <RR  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  <->  <. ( x  .R  z ) ,  0R >.  <RR  <. (
y  .R  z ) ,  0R >. ) )
26 ltresr 7366 . . . 4  |-  ( <.
( x  .R  z
) ,  0R >.  <RR  <. ( y  .R  z
) ,  0R >.  <->  (
x  .R  z )  <R  ( y  .R  z
) )
2725, 26syl6bb 194 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
( <. x ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  <RR  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  <->  ( x  .R  z )  <R  (
y  .R  z )
) )
28 ltresr 7366 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
29 ltresr 7366 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  y  <R  x )
3028, 29orbi12i 716 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )  <-> 
( x  <R  y  \/  y  <R  x ) )
3130a1i 9 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. )  <->  ( x  <R  y  \/  y  <R  x
) ) )
3220, 27, 313imtr4d 201 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
( <. x ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  <RR  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. ) ) )
331, 2, 3, 9, 15, 19, 323gencl 2653 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  x.  C
)  <RR  ( B  x.  C )  ->  ( A  <RR  B  \/  B  <RR  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3447   class class class wbr 3843  (class class class)co 5644   R.cnr 6846   0Rc0r 6847    .R cmr 6851    <R cltr 6852   RRcr 7339    <RR cltrr 7344    x. cmul 7345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-eprel 4114  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-1o 6173  df-2o 6174  df-oadd 6177  df-omul 6178  df-er 6282  df-ec 6284  df-qs 6288  df-ni 6853  df-pli 6854  df-mi 6855  df-lti 6856  df-plpq 6893  df-mpq 6894  df-enq 6896  df-nqqs 6897  df-plqqs 6898  df-mqqs 6899  df-1nqqs 6900  df-rq 6901  df-ltnqqs 6902  df-enq0 6973  df-nq0 6974  df-0nq0 6975  df-plq0 6976  df-mq0 6977  df-inp 7015  df-i1p 7016  df-iplp 7017  df-imp 7018  df-iltp 7019  df-enr 7262  df-nr 7263  df-plr 7264  df-mr 7265  df-ltr 7266  df-0r 7267  df-m1r 7269  df-c 7346  df-r 7350  df-mul 7352  df-lt 7353
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator