ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-mulext Unicode version
Theorem axpre-mulext 7850
Description: Strong extensionality of multiplication (expressed in terms of <RR). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulext 7892.

(Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axpre-mulext |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
Proof of Theorem axpre-mulext
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7790 . 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2 elreal 7790 . 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3 elreal 7790 . 2 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4 oveq1 5860 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = ( A x. <. z , 0R >. ) )
54breq1d 3999 . . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) ) )
6 breq1 3992 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
7 breq2 3993 . . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> <. y , 0R >. <RR A ) )
86, 7orbi12d 788 . . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
95, 8imbi12d 233 . 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) ) <-> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) ) )
10 oveq1 5860 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = ( B x. <. z , 0R >. ) )
1110breq2d 4001 . . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) ) )
12 breq2 3993 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
13 breq1 3992 . . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR A <-> B <RR A ) )
1412, 13orbi12d 788 . . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
1511, 14imbi12d 233 . 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) <-> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) ) )
16 oveq2 5861 . . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( A x. <. z , 0R >. ) = ( A x. C ) )
17 oveq2 5861 . . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( B x. <. z , 0R >. ) = ( B x. C ) )
1816, 17breq12d 4002 . . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) <-> ( A x. C ) <RR ( B x. C ) ) )
1918imbi1d 230 . 2 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( ( A x. <. z , 0R >. ) <RR ( B x. <. z , 0R >. ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) <-> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) ) )
20 mulextsr1 7743 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( x .R z ) <R ( y .R z ) -> ( x <R y \/ y <R x ) ) )
21 mulresr 7800 . . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( x .R z ) , 0R >. )
22213adant2 1011 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( x .R z ) , 0R >. )
23 mulresr 7800 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
24233adant1 1010 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
2522, 24breq12d 4002 . . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> <. ( x .R z ) , 0R >. <RR <. ( y .R z ) , 0R >. ) )
26 ltresr 7801 . . . 4 |- ( <. ( x .R z ) , 0R >. <RR <. ( y .R z ) , 0R >. <-> ( x .R z ) <R ( y .R z ) )
2725, 26bitrdi 195 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <-> ( x .R z ) <R ( y .R z ) ) )
28 ltresr 7801 . . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
29 ltresr 7801 . . . . 5 |- ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> y <R x )
3028, 29orbi12i 759 . . . 4 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) )
3130a1i 9 . . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) ) )
3220, 27, 313imtr4d 202 . 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. x. <. z , 0R >. ) <RR ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) ) )
331, 2, 3, 9, 15, 19, 323gencl 2764 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) <RR ( B x. C ) -> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   R.cnr 7259   0Rc0r 7260   .R cmr 7264   <R cltr 7265   RRcr 7773   <RR cltrr 7778   x. cmul 7779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-iltp 7432  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-mr 7691  df-ltr 7692  df-0r 7693  df-m1r 7695  df-c 7780  df-r 7784  df-mul 7786  df-lt 7787
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator