Theorem bcval2 10824

Description: Value of the binomial coefficient, N choose K, in its standard domain. (Contributed by NM, 9-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval2	|- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )

Proof of Theorem bcval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 10184	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
2		elfzelz 10094	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
3		bcval 10823	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) = if ( K e. ( 0 ... N ) , ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) , 0 ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = if ( K e. ( 0 ... N ) , ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) , 0 ) )
5		iftrue 3563	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> if ( K e. ( 0 ... N ) , ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) , 0 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
6	4, 5	eqtrd 2226	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   ifcif 3558   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   0cc0 7874   x. cmul 7879   - cmin 8192   / cdiv 8693   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ...cfz 10077   !cfa 10799   _C cbc 10821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-fz 10078  df-seqfrec 10522  df-fac 10800  df-bc 10822

This theorem is referenced by:  bcrpcl  10827  bccmpl  10828  bcn0  10829  bcn1  10832  bcm1k  10834  bcp1n  10835  bcval5  10837  permnn  10845  4bc2eq6  10848  efaddlem  11820  pcbc  12492