Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdmetval GIF version

Theorem bdmetval 12695
 Description: Value of the standard bounded metric. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
bdmetval (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bdmetval
StepHypRef Expression
1 simprl 520 . 2 (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
2 simprr 521 . 2 (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
3 simpll 518 . . . 4 (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
43, 1, 2fovrnd 5918 . . 3 (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐶𝐵) ∈ ℝ*)
5 simplr 519 . . 3 (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6 xrmincl 11059 . . 3 (((𝐴𝐶𝐵) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
74, 5, 6syl2anc 408 . 2 (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8 oveq12 5786 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝐴𝐶𝐵))
98preq1d 3609 . . . 4 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → {(𝑥𝐶𝑦), 𝑅} = {(𝐴𝐶𝐵), 𝑅})
109infeq1d 6902 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ))
11 stdbdmet.1 . . 3 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
1210, 11ovmpoga 5903 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐴𝐷𝐵) = inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ))
131, 2, 7, 12syl3anc 1216 1 (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cpr 3528   × cxp 4540  ⟶wf 5122  (class class class)co 5777   ∈ cmpo 5779  infcinf 6873  ℝ*cxr 7818   < clt 7819 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-isom 5135  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-sup 6874  df-inf 6875  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-rp 9464  df-xneg 9582  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795 This theorem is referenced by:  bdbl  12698
 Copyright terms: Public domain W3C validator