Theorem bdmetval 15601

Description: Value of the standard bounded metric. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
bdmetval	⊢ (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem bdmetval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 535	. 2 ⊢ (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		simprr 537	. 2 ⊢ (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3		simpll 531	. . . 4 ⊢ (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
4	3, 1, 2	fovcdmd 6234	. . 3 ⊢ (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐶𝐵) ∈ ℝ*)
5		simplr 533	. . 3 ⊢ (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6		xrmincl 12032	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐶𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7	4, 5, 6	syl2anc 415	. 2 ⊢ (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8		oveq12 6094	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝐴𝐶𝐵))
9	8	preq1d 3794	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → {(𝑥𝐶𝑦), 𝑅} = {(𝐴𝐶𝐵), 𝑅})
10	9	infeq1d 7352	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ))
11		stdbdmet.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
12	10, 11	ovmpoga 6218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐴𝐷𝐵) = inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ))
13	1, 2, 7, 12	syl3anc 1278	1 ⊢ (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = inf({(𝐴𝐶𝐵), 𝑅}, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3710   × cxp 4772  ⟶wf 5373  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087  infcinf 7323  ℝ^*cxr 8359   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765

This theorem is used by:  bdbl  15604