Theorem bitsinv1 12673

Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers (which can be extended to negative integers using bitscmp 12669), part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1	|- ( N e. NN0 -> sum_ n e. (bits ` N ) ( 2 ^ n ) = N )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem bitsinv1

Dummy variables k x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6066	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( 0..^ x ) = ( 0..^ 0 ) )
2		fzo0 10526	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
3	1, 2	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( 0..^ x ) = (/) )
4	3	ineq2d 3426	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) = ( (bits ` N ) i^i (/) ) )
5		in0 3547	. . . . . . . . 9 |- ( (bits ` N ) i^i (/) ) = (/)
6	4, 5	eqtrdi 2283	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) = (/) )
7	6	sumeq1d 12076	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. (/) ( 2 ^ n ) )
8		sum0 12099	. . . . . . 7 |- sum_ n e. (/) ( 2 ^ n ) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2283	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = 0 )
10		oveq2 6066	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( 2 ^ x ) = ( 2 ^ 0 ) )
11		2cn 9325	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
12		exp0 10929	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 0 ) = 1 )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ 0 ) = 1
14	10, 13	eqtrdi 2283	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( 2 ^ x ) = 1 )
15	14	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( N mod ( 2 ^ x ) ) = ( N mod 1 ) )
16	9, 15	eqeq12d 2249	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) <-> 0 = ( N mod 1 ) ) )
17	16	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> 0 = ( N mod 1 ) ) ) )
18		oveq2 6066	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( 0..^ x ) = ( 0..^ k ) )
19	18	ineq2d 3426	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) = ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) )
20	19	sumeq1d 12076	. . . . . 6 |- ( x = k -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) )
21		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( 2 ^ x ) = ( 2 ^ k ) )
22	21	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( N mod ( 2 ^ x ) ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) )
23	20, 22	eqeq12d 2249	. . . . 5 |- ( x = k -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) <-> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) ) ) )
25		oveq2 6066	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( 0..^ x ) = ( 0..^ ( k + 1 ) ) )
26	25	ineq2d 3426	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) = ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
27	26	sumeq1d 12076	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) )
28		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( 2 ^ x ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
29	28	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( N mod ( 2 ^ x ) ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
30	27, 29	eqeq12d 2249	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) <-> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
32		oveq2 6066	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( 0..^ x ) = ( 0..^ N ) )
33	32	ineq2d 3426	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) = ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) )
34	33	sumeq1d 12076	. . . . . 6 |- ( x = N -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) )
35		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( 2 ^ x ) = ( 2 ^ N ) )
36	35	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( N mod ( 2 ^ x ) ) = ( N mod ( 2 ^ N ) ) )
37	34, 36	eqeq12d 2249	. . . . 5 |- ( x = N -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) <-> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ N ) ) ) )
38	37	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
39		nn0z 9614	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
40		zmod10 10726	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 1 ) = 0 )
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N mod 1 ) = 0 )
42	41	eqcomd 2240	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 0 = ( N mod 1 ) )
43		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) )
44		fzonel 10517	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. k e. ( 0..^ k )
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> -. k e. ( 0..^ k ) )
46		disjsn 3756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0..^ k ) i^i { k } ) = (/) <-> -. k e. ( 0..^ k ) )
47	45, 46	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0..^ k ) i^i { k } ) = (/) )
48	47	ineq2d 3426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( ( 0..^ k ) i^i { k } ) ) = ( (bits ` N ) i^i (/) ) )
49		inindi 3442	. . . . . . . . . 10 |- ( (bits ` N ) i^i ( ( 0..^ k ) i^i { k } ) ) = ( ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) i^i ( (bits ` N ) i^i { k } ) )
50	48, 49, 5	3eqtr3g 2290	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) i^i ( (bits ` N ) i^i { k } ) ) = (/) )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
52		nn0uz 9907	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
53	51, 52	eleqtrdi 2327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
54		fzosplitsn 10600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( k + 1 ) ) = ( ( 0..^ k ) u. { k } ) )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( 0..^ ( k + 1 ) ) = ( ( 0..^ k ) u. { k } ) )
56	55	ineq2d 3426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) = ( (bits ` N ) i^i ( ( 0..^ k ) u. { k } ) ) )
57		indi 3472	. . . . . . . . . 10 |- ( (bits ` N ) i^i ( ( 0..^ k ) u. { k } ) ) = ( ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) u. ( (bits ` N ) i^i { k } ) )
58	56, 57	eqtrdi 2283	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) u. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ) )
59		0z 9605	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
60		nn0z 9614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
61	60	peano2zd 9721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. ZZ )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
63		fzofig 10818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( k + 1 ) ) e. Fin )
64	59, 62, 63	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( 0..^ ( k + 1 ) ) e. Fin )
65		inss2 3446	. . . . . . . . . . 11 |- ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) C_ ( 0..^ ( k + 1 ) )
66	65	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) C_ ( 0..^ ( k + 1 ) ) )
67	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
68		elfzonn0 10547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) -> j e. NN0 )
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
70		bitsdc 12658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ j e. NN0 ) -> DECID j e. (bits ` N ) )
71	67, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> DECID j e. (bits ` N ) )
72	69	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
73		0zd 9606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
74	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
75		fzodcel 10509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) )
76	72, 73, 74, 75	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> DECID j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) )
77	71, 76	dcand 941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> DECID ( j e. (bits ` N ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
78		elin 3406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) <-> ( j e. (bits ` N ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
79	78	dcbii 848	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID j e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) <-> DECID ( j e. (bits ` N ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
80	77, 79	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> DECID j e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
81	80	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> A. j e. ( 0..^ ( k + 1 ) )DECID j e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
82		ssfidc 7211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0..^ ( k + 1 ) ) e. Fin /\ ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) C_ ( 0..^ ( k + 1 ) ) /\ A. j e. ( 0..^ ( k + 1 ) )DECID j e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) e. Fin )
83	64, 66, 81, 82	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) e. Fin )
84		2nn 9416	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
85	84	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> 2 e. NN )
86		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
87	86	elin2d 3413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> n e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) )
88		elfzouz 10507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
90	89, 52	eleqtrrdi 2328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> n e. NN0 )
91	85, 90	nnexpcld 11082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
92	91	nncnd 9268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. CC )
93	50, 58, 83, 92	fsumsplit 12118	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) )
94		bitsinv1lem 12672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) ) )
95	39, 94	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) ) )
96		eqeq2 2244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 ^ k ) = if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ k ) <-> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) ) )
97		eqeq2 2244	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = 0 <-> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) ) )
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> k e. (bits ` N ) )
99	98	snssd 3844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> { k } C_ (bits ` N ) )
100		sseqin2 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { k } C_ (bits ` N ) <-> ( (bits ` N ) i^i { k } ) = { k } )
101	99, 100	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> ( (bits ` N ) i^i { k } ) = { k } )
102	101	sumeq1d 12076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. { k } ( 2 ^ n ) )
103		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> k e. NN0 )
104	84	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> 2 e. NN )
105	104, 103	nnexpcld 11082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
106	105	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
107		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ k ) )
108	107	sumsn 12122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ ( 2 ^ k ) e. CC ) -> sum_ n e. { k } ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ k ) )
109	103, 106, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> sum_ n e. { k } ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ k ) )
110	102, 109	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ k ) )
111		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ -. k e. (bits ` N ) ) -> -. k e. (bits ` N ) )
112		disjsn 3756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (bits ` N ) i^i { k } ) = (/) <-> -. k e. (bits ` N ) )
113	111, 112	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ -. k e. (bits ` N ) ) -> ( (bits ` N ) i^i { k } ) = (/) )
114	113	sumeq1d 12076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ -. k e. (bits ` N ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. (/) ( 2 ^ n ) )
115	114, 8	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ -. k e. (bits ` N ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = 0 )
116		bitsdc 12658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. NN0 ) -> DECID k e. (bits ` N ) )
117	39, 116	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> DECID k e. (bits ` N ) )
118	96, 97, 110, 115, 117	ifbothdadc 3660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) )
119	118	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) ) )
120	95, 119	eqtr4d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) )
121	93, 120	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) <-> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) ) )
122	43, 121	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
123	122	expcom 116	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
124	123	a2d 26	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) ) -> ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
125	17, 24, 31, 38, 42, 124	nn0ind 9710	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ N ) ) ) )
126	125	pm2.43i 49	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ N ) ) )
127		id 19	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
128	127, 52	eleqtrdi 2327	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
129	84	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 2 e. NN )
130	129, 127	nnexpcld 11082	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. NN )
131	130	nnzd 9717	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
132		2z 9622	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
133		uzid 9886	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
134	132, 133	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
135		bernneq3 11049	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( 2 ^ N ) )
136	134, 135	mpan 424	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N < ( 2 ^ N ) )
137		elfzo2 10506	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( 2 ^ N ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ N ) ) )
138	128, 131, 136, 137	syl3anbrc 1208	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
139		bitsfzo 12666	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ N ) ) )
140	39, 127, 139	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ N ) ) )
141	138, 140	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ N ) )
142		dfss2 3231	. . . 4 |- ( (bits ` N ) C_ ( 0..^ N ) <-> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) = (bits ` N ) )
143	141, 142	sylib 122	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) = (bits ` N ) )
144	143	sumeq1d 12076	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. (bits ` N ) ( 2 ^ n ) )
145		zq 9976	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
146	39, 145	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. QQ )
147		zexpcl 10940	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
148	132, 147	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
149		zq 9976	. . . 4 |- ( ( 2 ^ N ) e. ZZ -> ( 2 ^ N ) e. QQ )
150	148, 149	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. QQ )
151		nn0ge0 9538	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
152		modqid 10735	. . 3 |- ( ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ N /\ N < ( 2 ^ N ) ) ) -> ( N mod ( 2 ^ N ) ) = N )
153	146, 150, 151, 136, 152	syl22anc 1275	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N mod ( 2 ^ N ) ) = N )
154	126, 144, 153	3eqtr3d 2275	1 |- ( N e. NN0 -> sum_ n e. (bits ` N ) ( 2 ^ n ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   u. cun 3212   i^i cin 3213   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ifcif 3624   {csn 3694   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   NNcn 9254   2c2 9305   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   QQcq 9969  ..^cfzo 10498   mod cmo 10708   ^cexp 10924   sum_csu 12063  bitscbits 12651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-dvds 12499  df-bits 12652

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