Theorem bitsinv1 12343

Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers (which can be extended to negative integers using bitscmp 12339), part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1	|- ( N e. NN0 -> sum_ n e. (bits ` N ) ( 2 ^ n ) = N )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem bitsinv1

Dummy variables k x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5964	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( 0..^ x ) = ( 0..^ 0 ) )
2		fzo0 10307	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
3	1, 2	eqtrdi 2255	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( 0..^ x ) = (/) )
4	3	ineq2d 3378	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) = ( (bits ` N ) i^i (/) ) )
5		in0 3499	. . . . . . . . 9 |- ( (bits ` N ) i^i (/) ) = (/)
6	4, 5	eqtrdi 2255	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) = (/) )
7	6	sumeq1d 11747	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. (/) ( 2 ^ n ) )
8		sum0 11769	. . . . . . 7 |- sum_ n e. (/) ( 2 ^ n ) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2255	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = 0 )
10		oveq2 5964	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( 2 ^ x ) = ( 2 ^ 0 ) )
11		2cn 9122	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
12		exp0 10705	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 0 ) = 1 )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ 0 ) = 1
14	10, 13	eqtrdi 2255	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( 2 ^ x ) = 1 )
15	14	oveq2d 5972	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( N mod ( 2 ^ x ) ) = ( N mod 1 ) )
16	9, 15	eqeq12d 2221	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) <-> 0 = ( N mod 1 ) ) )
17	16	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> 0 = ( N mod 1 ) ) ) )
18		oveq2 5964	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( 0..^ x ) = ( 0..^ k ) )
19	18	ineq2d 3378	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) = ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) )
20	19	sumeq1d 11747	. . . . . 6 |- ( x = k -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) )
21		oveq2 5964	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( 2 ^ x ) = ( 2 ^ k ) )
22	21	oveq2d 5972	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( N mod ( 2 ^ x ) ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) )
23	20, 22	eqeq12d 2221	. . . . 5 |- ( x = k -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) <-> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) ) ) )
25		oveq2 5964	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( 0..^ x ) = ( 0..^ ( k + 1 ) ) )
26	25	ineq2d 3378	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) = ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
27	26	sumeq1d 11747	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) )
28		oveq2 5964	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( 2 ^ x ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
29	28	oveq2d 5972	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( N mod ( 2 ^ x ) ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
30	27, 29	eqeq12d 2221	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) <-> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
32		oveq2 5964	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( 0..^ x ) = ( 0..^ N ) )
33	32	ineq2d 3378	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) = ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) )
34	33	sumeq1d 11747	. . . . . 6 |- ( x = N -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) )
35		oveq2 5964	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( 2 ^ x ) = ( 2 ^ N ) )
36	35	oveq2d 5972	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( N mod ( 2 ^ x ) ) = ( N mod ( 2 ^ N ) ) )
37	34, 36	eqeq12d 2221	. . . . 5 |- ( x = N -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) <-> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ N ) ) ) )
38	37	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ x ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ x ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
39		nn0z 9407	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
40		zmod10 10502	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 1 ) = 0 )
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N mod 1 ) = 0 )
42	41	eqcomd 2212	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 0 = ( N mod 1 ) )
43		oveq1 5963	. . . . . . 7 |- ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) )
44		fzonel 10298	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. k e. ( 0..^ k )
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> -. k e. ( 0..^ k ) )
46		disjsn 3699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0..^ k ) i^i { k } ) = (/) <-> -. k e. ( 0..^ k ) )
47	45, 46	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0..^ k ) i^i { k } ) = (/) )
48	47	ineq2d 3378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( ( 0..^ k ) i^i { k } ) ) = ( (bits ` N ) i^i (/) ) )
49		inindi 3394	. . . . . . . . . 10 |- ( (bits ` N ) i^i ( ( 0..^ k ) i^i { k } ) ) = ( ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) i^i ( (bits ` N ) i^i { k } ) )
50	48, 49, 5	3eqtr3g 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) i^i ( (bits ` N ) i^i { k } ) ) = (/) )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
52		nn0uz 9698	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
53	51, 52	eleqtrdi 2299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
54		fzosplitsn 10379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( k + 1 ) ) = ( ( 0..^ k ) u. { k } ) )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( 0..^ ( k + 1 ) ) = ( ( 0..^ k ) u. { k } ) )
56	55	ineq2d 3378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) = ( (bits ` N ) i^i ( ( 0..^ k ) u. { k } ) ) )
57		indi 3424	. . . . . . . . . 10 |- ( (bits ` N ) i^i ( ( 0..^ k ) u. { k } ) ) = ( ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) u. ( (bits ` N ) i^i { k } ) )
58	56, 57	eqtrdi 2255	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) u. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ) )
59		0z 9398	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
60		nn0z 9407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
61	60	peano2zd 9513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. ZZ )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
63		fzofig 10594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( k + 1 ) ) e. Fin )
64	59, 62, 63	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( 0..^ ( k + 1 ) ) e. Fin )
65		inss2 3398	. . . . . . . . . . 11 |- ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) C_ ( 0..^ ( k + 1 ) )
66	65	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) C_ ( 0..^ ( k + 1 ) ) )
67	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
68		elfzonn0 10327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) -> j e. NN0 )
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
70		bitsdc 12328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ j e. NN0 ) -> DECID j e. (bits ` N ) )
71	67, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> DECID j e. (bits ` N ) )
72	69	nn0zd 9508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
73		0zd 9399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
74	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
75		fzodcel 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) )
76	72, 73, 74, 75	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> DECID j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) )
77	71, 76	dcand 935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> DECID ( j e. (bits ` N ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
78		elin 3360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) <-> ( j e. (bits ` N ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
79	78	dcbii 842	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID j e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) <-> DECID ( j e. (bits ` N ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
80	77, 79	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) -> DECID j e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
81	80	ralrimiva 2580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> A. j e. ( 0..^ ( k + 1 ) )DECID j e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
82		ssfidc 7048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0..^ ( k + 1 ) ) e. Fin /\ ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) C_ ( 0..^ ( k + 1 ) ) /\ A. j e. ( 0..^ ( k + 1 ) )DECID j e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) e. Fin )
83	64, 66, 81, 82	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) e. Fin )
84		2nn 9213	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
85	84	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> 2 e. NN )
86		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) )
87	86	elin2d 3367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> n e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) )
88		elfzouz 10288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 0..^ ( k + 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
90	89, 52	eleqtrrdi 2300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> n e. NN0 )
91	85, 90	nnexpcld 10857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
92	91	nncnd 9065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. CC )
93	50, 58, 83, 92	fsumsplit 11788	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) )
94		bitsinv1lem 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) ) )
95	39, 94	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) ) )
96		eqeq2 2216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 ^ k ) = if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ k ) <-> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) ) )
97		eqeq2 2216	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = 0 <-> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) ) )
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> k e. (bits ` N ) )
99	98	snssd 3783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> { k } C_ (bits ` N ) )
100		sseqin2 3396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { k } C_ (bits ` N ) <-> ( (bits ` N ) i^i { k } ) = { k } )
101	99, 100	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> ( (bits ` N ) i^i { k } ) = { k } )
102	101	sumeq1d 11747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. { k } ( 2 ^ n ) )
103		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> k e. NN0 )
104	84	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> 2 e. NN )
105	104, 103	nnexpcld 10857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
106	105	nncnd 9065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
107		oveq2 5964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ k ) )
108	107	sumsn 11792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ ( 2 ^ k ) e. CC ) -> sum_ n e. { k } ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ k ) )
109	103, 106, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> sum_ n e. { k } ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ k ) )
110	102, 109	eqtrd 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ k e. (bits ` N ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ k ) )
111		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ -. k e. (bits ` N ) ) -> -. k e. (bits ` N ) )
112		disjsn 3699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (bits ` N ) i^i { k } ) = (/) <-> -. k e. (bits ` N ) )
113	111, 112	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ -. k e. (bits ` N ) ) -> ( (bits ` N ) i^i { k } ) = (/) )
114	113	sumeq1d 11747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ -. k e. (bits ` N ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. (/) ( 2 ^ n ) )
115	114, 8	eqtrdi 2255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ -. k e. (bits ` N ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = 0 )
116		bitsdc 12328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. NN0 ) -> DECID k e. (bits ` N ) )
117	39, 116	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> DECID k e. (bits ` N ) )
118	96, 97, 110, 115, 117	ifbothdadc 3608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) = if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) )
119	118	oveq2d 5972	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + if ( k e. (bits ` N ) , ( 2 ^ k ) , 0 ) ) )
120	95, 119	eqtr4d 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) )
121	93, 120	eqeq12d 2221	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) <-> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ k ) ) + sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i { k } ) ( 2 ^ n ) ) ) )
122	43, 121	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
123	122	expcom 116	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
124	123	a2d 26	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ k ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ k ) ) ) -> ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ ( k + 1 ) ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
125	17, 24, 31, 38, 42, 124	nn0ind 9502	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ N ) ) ) )
126	125	pm2.43i 49	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) = ( N mod ( 2 ^ N ) ) )
127		id 19	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
128	127, 52	eleqtrdi 2299	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
129	84	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 2 e. NN )
130	129, 127	nnexpcld 10857	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. NN )
131	130	nnzd 9509	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
132		2z 9415	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
133		uzid 9677	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
134	132, 133	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
135		bernneq3 10824	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( 2 ^ N ) )
136	134, 135	mpan 424	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N < ( 2 ^ N ) )
137		elfzo2 10287	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( 2 ^ N ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ N ) ) )
138	128, 131, 136, 137	syl3anbrc 1184	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) )
139		bitsfzo 12336	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ N ) ) )
140	39, 127, 139	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ N ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ N ) ) )
141	138, 140	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ N ) )
142		dfss2 3187	. . . 4 |- ( (bits ` N ) C_ ( 0..^ N ) <-> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) = (bits ` N ) )
143	141, 142	sylib 122	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) = (bits ` N ) )
144	143	sumeq1d 11747	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ n e. ( (bits ` N ) i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ n ) = sum_ n e. (bits ` N ) ( 2 ^ n ) )
145		zq 9762	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
146	39, 145	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. QQ )
147		zexpcl 10716	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
148	132, 147	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
149		zq 9762	. . . 4 |- ( ( 2 ^ N ) e. ZZ -> ( 2 ^ N ) e. QQ )
150	148, 149	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. QQ )
151		nn0ge0 9335	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
152		modqid 10511	. . 3 |- ( ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ N ) e. QQ ) /\ ( 0 <_ N /\ N < ( 2 ^ N ) ) ) -> ( N mod ( 2 ^ N ) ) = N )
153	146, 150, 151, 136, 152	syl22anc 1251	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N mod ( 2 ^ N ) ) = N )
154	126, 144, 153	3eqtr3d 2247	1 |- ( N e. NN0 -> sum_ n e. (bits ` N ) ( 2 ^ n ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   u. cun 3168   i^i cin 3169   C_ wss 3170   (/)c0 3464   ifcif 3575   {csn 3637   class class class wbr 4050   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   Fincfn 6839   CCcc 7938   0cc0 7940   1c1 7941   + caddc 7943   < clt 8122   <_ cle 8123   NNcn 9051   2c2 9102   NN0cn0 9310   ZZcz 9387   ZZ>=cuz 9663   QQcq 9755  ..^cfzo 10279   mod cmo 10484   ^cexp 10700   sum_csu 11734  bitscbits 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059  ax-caucvg 8060

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-isom 5288  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-irdg 6468  df-frec 6489  df-1o 6514  df-oadd 6518  df-er 6632  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-sup 7100  df-inf 7101  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-fl 10430  df-mod 10485  df-seqfrec 10610  df-exp 10701  df-ihash 10938  df-cj 11223  df-re 11224  df-im 11225  df-rsqrt 11379  df-abs 11380  df-clim 11660  df-sumdc 11735  df-dvds 12169  df-bits 12322

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