Theorem bitsfi 12124

Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfi	|- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) e. Fin )

Proof of Theorem bitsfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9260	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		2re 9062	. . . 4 |- 2 e. RR
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
4		1lt2 9162	. . . 4 |- 1 < 2
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 1 < 2 )
6		expnbnd 10757	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> E. m e. NN N < ( 2 ^ m ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 |- ( N e. NN0 -> E. m e. NN N < ( 2 ^ m ) )
8		0zd 9340	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> 0 e. ZZ )
9		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. NN )
10	9	nnnn0d 9304	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. NN0 )
11	10	nn0zd 9448	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. ZZ )
12		fzofig 10526	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( 0..^ m ) e. Fin )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 0..^ m ) e. Fin )
14		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. NN0 )
15		nn0uz 9638	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
16	14, 15	eleqtrdi 2289	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
17		2nn 9154	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
18	17	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> 2 e. NN )
19	18, 10	nnexpcld 10789	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
20	19	nnzd 9449	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 2 ^ m ) e. ZZ )
21		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N < ( 2 ^ m ) )
22		elfzo2 10227	. . . . 5 |- ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( 2 ^ m ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ m ) ) )
23	16, 20, 21, 22	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) )
24	14	nn0zd 9448	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ZZ )
25		bitsfzo 12122	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) )
26	24, 10, 25	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) )
27	23, 26	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) )
28		elfzonn0 10264	. . . . 5 |- ( n e. ( 0..^ m ) -> n e. NN0 )
29		bitsdc 12114	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. NN0 ) -> DECID n e. (bits ` N ) )
30	24, 28, 29	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) /\ n e. ( 0..^ m ) ) -> DECID n e. (bits ` N ) )
31	30	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> A. n e. ( 0..^ m )DECID n e. (bits ` N ) )
32		ssfidc 6999	. . 3 |- ( ( ( 0..^ m ) e. Fin /\ (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) /\ A. n e. ( 0..^ m )DECID n e. (bits ` N ) ) -> (bits ` N ) e. Fin )
33	13, 27, 31, 32	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> (bits ` N ) e. Fin )
34	7, 33	rexlimddv 2619	1 |- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Fincfn 6800   RRcr 7880   0cc0 7881   1c1 7882   < clt 8063   NNcn 8992   2c2 9043   NN0cn0 9251   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603  ..^cfzo 10219   ^cexp 10632  bitscbits 12107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-er 6593  df-en 6801  df-fin 6803  df-sup 7051  df-inf 7052  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-dvds 11955  df-bits 12108

This theorem is referenced by: (None)