Theorem bitsfi 12523

Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfi	|- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) e. Fin )

Proof of Theorem bitsfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9411	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		2re 9213	. . . 4 |- 2 e. RR
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
4		1lt2 9313	. . . 4 |- 1 < 2
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 1 < 2 )
6		expnbnd 10926	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> E. m e. NN N < ( 2 ^ m ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1273	. 2 |- ( N e. NN0 -> E. m e. NN N < ( 2 ^ m ) )
8		0zd 9491	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> 0 e. ZZ )
9		simprl 531	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. NN )
10	9	nnnn0d 9455	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. NN0 )
11	10	nn0zd 9600	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. ZZ )
12		fzofig 10695	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( 0..^ m ) e. Fin )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 0..^ m ) e. Fin )
14		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. NN0 )
15		nn0uz 9791	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
16	14, 15	eleqtrdi 2324	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
17		2nn 9305	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
18	17	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> 2 e. NN )
19	18, 10	nnexpcld 10958	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
20	19	nnzd 9601	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 2 ^ m ) e. ZZ )
21		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N < ( 2 ^ m ) )
22		elfzo2 10385	. . . . 5 |- ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( 2 ^ m ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ m ) ) )
23	16, 20, 21, 22	syl3anbrc 1207	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) )
24	14	nn0zd 9600	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ZZ )
25		bitsfzo 12521	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) )
26	24, 10, 25	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) )
27	23, 26	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) )
28		elfzonn0 10426	. . . . 5 |- ( n e. ( 0..^ m ) -> n e. NN0 )
29		bitsdc 12513	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. NN0 ) -> DECID n e. (bits ` N ) )
30	24, 28, 29	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) /\ n e. ( 0..^ m ) ) -> DECID n e. (bits ` N ) )
31	30	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> A. n e. ( 0..^ m )DECID n e. (bits ` N ) )
32		ssfidc 7130	. . 3 |- ( ( ( 0..^ m ) e. Fin /\ (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) /\ A. n e. ( 0..^ m )DECID n e. (bits ` N ) ) -> (bits ` N ) e. Fin )
33	13, 27, 31, 32	syl3anc 1273	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> (bits ` N ) e. Fin )
34	7, 33	rexlimddv 2655	1 |- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 841   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   < clt 8214   NNcn 9143   2c2 9194   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755  ..^cfzo 10377   ^cexp 10801  bitscbits 12506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-dvds 12354  df-bits 12507

This theorem is referenced by: (None)