Theorem bitsfi 12579

Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfi	|- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) e. Fin )

Proof of Theorem bitsfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9454	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		2re 9256	. . . 4 |- 2 e. RR
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
4		1lt2 9356	. . . 4 |- 1 < 2
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 1 < 2 )
6		expnbnd 10969	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> E. m e. NN N < ( 2 ^ m ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 |- ( N e. NN0 -> E. m e. NN N < ( 2 ^ m ) )
8		0zd 9534	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> 0 e. ZZ )
9		simprl 531	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. NN )
10	9	nnnn0d 9498	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. NN0 )
11	10	nn0zd 9643	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. ZZ )
12		fzofig 10738	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( 0..^ m ) e. Fin )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 0..^ m ) e. Fin )
14		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. NN0 )
15		nn0uz 9834	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
16	14, 15	eleqtrdi 2324	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
17		2nn 9348	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
18	17	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> 2 e. NN )
19	18, 10	nnexpcld 11001	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
20	19	nnzd 9644	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 2 ^ m ) e. ZZ )
21		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N < ( 2 ^ m ) )
22		elfzo2 10428	. . . . 5 |- ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( 2 ^ m ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ m ) ) )
23	16, 20, 21, 22	syl3anbrc 1208	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) )
24	14	nn0zd 9643	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ZZ )
25		bitsfzo 12577	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) )
26	24, 10, 25	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) )
27	23, 26	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) )
28		elfzonn0 10469	. . . . 5 |- ( n e. ( 0..^ m ) -> n e. NN0 )
29		bitsdc 12569	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. NN0 ) -> DECID n e. (bits ` N ) )
30	24, 28, 29	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) /\ n e. ( 0..^ m ) ) -> DECID n e. (bits ` N ) )
31	30	ralrimiva 2606	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> A. n e. ( 0..^ m )DECID n e. (bits ` N ) )
32		ssfidc 7173	. . 3 |- ( ( ( 0..^ m ) e. Fin /\ (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) /\ A. n e. ( 0..^ m )DECID n e. (bits ` N ) ) -> (bits ` N ) e. Fin )
33	13, 27, 31, 32	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> (bits ` N ) e. Fin )
34	7, 33	rexlimddv 2656	1 |- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   < clt 8257   NNcn 9186   2c2 9237   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798  ..^cfzo 10420   ^cexp 10844  bitscbits 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-bits 12563

This theorem is referenced by: (None)