ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cau3 GIF version

Theorem cau3 10375
Description: Convert between three-quantifier and four-quantifier versions of the Cauchy criterion. (In particular, the four-quantifier version has no occurrence of 𝑗 in the assertion, so it can be used with rexanuz 10248 and friends.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
cau3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem cau3
StepHypRef Expression
1 cau3.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 uzssz 8933 . . . 4 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
31, 2eqsstri 3040 . . 3 𝑍 ⊆ ℤ
4 id 19 . . 3 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5 eleq1 2145 . . 3 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
6 eleq1 2145 . . 3 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
7 abssub 10361 . . . 4 (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
873adant1 957 . . 3 ((⊤ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑘))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
9 abssub 10361 . . . 4 (((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑚))))
1093adant1 957 . . 3 ((⊤ ∧ (𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑚))))
11 abs3lem 10371 . . . 4 ((((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
12113adant1 957 . . 3 ((⊤ ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
133, 4, 5, 6, 8, 10, 12cau3lem 10374 . 2 (⊤ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
1413trud 1294 1 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wtru 1286  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354   class class class wbr 3811  cfv 4969  (class class class)co 5591  cc 7251  cr 7252   < clt 7425  cmin 7556   / cdiv 8037  2c2 8366  cz 8646  cuz 8914  +crp 9029  abscabs 10257
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367  ax-caucvg 7368
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-rp 9030  df-iseq 9741  df-iexp 9792  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105  df-rsqrt 10258  df-abs 10259
This theorem is referenced by:  cau4  10376  serif0  10563
  Copyright terms: Public domain W3C validator