Theorem cau3 11796

Description: Convert between three-quantifier and four-quantifier versions of the Cauchy criterion. (In particular, the four-quantifier version has no occurrence of 𝑗 in the assertion, so it can be used with rexanuz 11669 and friends.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cau3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cau3	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem cau3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cau3.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		uzssz 9873	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 3269	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
4		id 19	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
5		eleq1 2295	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
6		eleq1 2295	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ))
7		abssub 11782	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑘))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
8	7	3adant1 1042	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑘))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
9		abssub 11782	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑚) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))))
10	9	3adant1 1042	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑚) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))))
11		abs3lem 11792	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
12	11	3adant1 1042	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
13	3, 4, 5, 6, 8, 10, 12	cau3lem 11795	. 2 ⊢ (⊤ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
14	13	mptru 1407	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  ℝcr 8125   < clt 8307   − cmin 8443   / cdiv 8945  2c2 9287  ℤcz 9576  ℤ_≥cuz 9852  ℝ⁺crp 9985  abscabs 11678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-rp 9986  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680

This theorem is referenced by:  cau4  11797  serf0  12033