Theorem cncfcncntop 15007

Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcn.2	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
cncfcn.3	|- K = ( J ↾t A )
cncfcn.4	|- L = ( J ↾t B )

Assertion

Ref	Expression
cncfcncntop	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( K Cn L ) )

Proof of Theorem cncfcncntop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
2		eqid 2204	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
3		eqid 2204	. . 3 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
4		eqid 2204	. . 3 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	cncfmet 15006	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) ) )
6		cncfcn.3	. . . 4 |- K = ( J ↾t A )
7		cnxmet 14945	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
8		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> A C_ CC )
9		cncfcn.2	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
10	1, 9, 3	metrest 14920	. . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( J ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( J ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
12	6, 11	eqtrid 2249	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
13		cncfcn.4	. . . 4 |- L = ( J ↾t B )
14		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> B C_ CC )
15	2, 9, 4	metrest 14920	. . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B C_ CC ) -> ( J ↾t B ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) )
16	7, 14, 15	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( J ↾t B ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) )
17	13, 16	eqtrid 2249	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> L = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) )
18	12, 17	oveq12d 5961	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( K Cn L ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) ) )
19	5, 18	eqtr4d 2240	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( K Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   C_ wss 3165   X. cxp 4672   |` cres 4676   o. ccom 4678   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   CCcc 7922   - cmin 8242   abscabs 11250   ↾_t crest 13013   *Metcxmet 14240   MetOpencmopn 14245   Cn ccn 14599   -cn->ccncf 14984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-map 6736  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-rest 13015  df-topgen 13034  df-psmet 14247  df-xmet 14248  df-met 14249  df-bl 14250  df-mopn 14251  df-top 14412  df-topon 14425  df-bases 14457  df-cn 14602  df-cnp 14603  df-cncf 14985

This theorem is referenced by:  cncfcn1cntop  15008  cncfmpt2fcntop  15013  cnrehmeocntop  15024  cnlimcim  15085  cnlimc  15086  dvcn  15114