ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncfcncntop GIF version
Theorem cncfcncntop 14477
Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
cncfcn.3 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
cncfcn.4 𝐿 = (𝐽 β†Ύt 𝐡)
Assertion
Ref Expression
cncfcncntop ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐾 Cn 𝐿))
Proof of Theorem cncfcncntop
StepHypRef Expression
1 eqid 2189 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
2 eqid 2189 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
3 eqid 2189 . . 3 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4 eqid 2189 . . 3 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
51, 2, 3, 4cncfmet 14476 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) Cn (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))))
6 cncfcn.3 . . . 4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
7 cnxmet 14428 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
8 simpl 109 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 cncfcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
101, 9, 3metrest 14403 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
117, 8, 10sylancr 414 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
126, 11eqtrid 2234 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
13 cncfcn.4 . . . 4 𝐿 = (𝐽 β†Ύt 𝐡)
14 simpr 110 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
152, 9, 4metrest 14403 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
167, 14, 15sylancr 414 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
1713, 16eqtrid 2234 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐿 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
1812, 17oveq12d 5909 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 Cn 𝐿) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) Cn (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))))
195, 18eqtr4d 2225 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   βŠ† wss 3144   Γ— cxp 4639   β†Ύ cres 4643   ∘ ccom 4645  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  β„‚cc 7827   βˆ’ cmin 8146  abscabs 11024   β†Ύt crest 12710  βˆžMetcxmet 13810  MetOpencmopn 13815   Cn ccn 14082  β€“cnβ†’ccncf 14454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-map 6668  df-sup 7001  df-inf 7002  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-xneg 9790  df-xadd 9791  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-rest 12712  df-topgen 12731  df-psmet 13817  df-xmet 13818  df-met 13819  df-bl 13820  df-mopn 13821  df-top 13895  df-topon 13908  df-bases 13940  df-cn 14085  df-cnp 14086  df-cncf 14455
This theorem is referenced by:  cncfcn1cntop  14478  cncfmpt2fcntop  14482  cnrehmeocntop  14490  cnlimcim  14537  cnlimc  14538  dvcn  14561
  Copyright terms: Public domain W3C validator