ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncfcncntop GIF version
Theorem cncfcncntop 14320
Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
cncfcn.3 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
cncfcn.4 𝐿 = (𝐽 β†Ύt 𝐡)
Assertion
Ref Expression
cncfcncntop ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐾 Cn 𝐿))
Proof of Theorem cncfcncntop
StepHypRef Expression
1 eqid 2187 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
2 eqid 2187 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
3 eqid 2187 . . 3 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4 eqid 2187 . . 3 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
51, 2, 3, 4cncfmet 14319 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) Cn (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))))
6 cncfcn.3 . . . 4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐴)
7 cnxmet 14271 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
8 simpl 109 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 cncfcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
101, 9, 3metrest 14246 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
117, 8, 10sylancr 414 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
126, 11eqtrid 2232 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
13 cncfcn.4 . . . 4 𝐿 = (𝐽 β†Ύt 𝐡)
14 simpr 110 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
152, 9, 4metrest 14246 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
167, 14, 15sylancr 414 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
1713, 16eqtrid 2232 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ 𝐿 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))))
1812, 17oveq12d 5906 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 Cn 𝐿) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) Cn (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))))
195, 18eqtr4d 2223 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   βŠ† wss 3141   Γ— cxp 4636   β†Ύ cres 4640   ∘ ccom 4642  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„‚cc 7822   βˆ’ cmin 8141  abscabs 11019   β†Ύt crest 12705  βˆžMetcxmet 13666  MetOpencmopn 13671   Cn ccn 13925  β€“cnβ†’ccncf 14297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-map 6663  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13673  df-xmet 13674  df-met 13675  df-bl 13676  df-mopn 13677  df-top 13738  df-topon 13751  df-bases 13783  df-cn 13928  df-cnp 13929  df-cncf 14298
This theorem is referenced by:  cncfcn1cntop  14321  cncfmpt2fcntop  14325  cnrehmeocntop  14333  cnlimcim  14380  cnlimc  14381  dvcn  14404
  Copyright terms: Public domain W3C validator