Theorem zringmulg 14933

Description: The multiplication (group power) operation of the group of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringmulg	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A (.g ` ℤring ) B ) = ( A x. B ) )

Proof of Theorem zringmulg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9649	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
2		zaddcl 9684	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + y ) e. ZZ )
3		znegcl 9675	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> -u x e. ZZ )
4		1z 9670	. . . 4 |- 1 e. ZZ
5	1, 2, 3, 4	cnsubglem 14916	. . 3 |- ZZ e. (SubGrp ` ℂfld )
6		eqid 2238	. . . 4 |- (.g ` ℂfld ) = (.g ` ℂfld )
7		df-zring 14926	. . . 4 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
8		eqid 2238	. . . 4 |- (.g ` ℤring ) = (.g ` ℤring )
9	6, 7, 8	subgmulg 13991	. . 3 |- ( ( ZZ e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A (.g ` ℂfld ) B ) = ( A (.g ` ℤring ) B ) )
10	5, 9	mp3an1 1365	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A (.g ` ℂfld ) B ) = ( A (.g ` ℤring ) B ) )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
12	11	zcnd 9769	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. CC )
13		cnfldmulg 14913	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. CC ) -> ( A (.g ` ℂfld ) B ) = ( A x. B ) )
14	12, 13	syldan 282	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A (.g ` ℂfld ) B ) = ( A x. B ) )
15	10, 14	eqtr3d 2273	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A (.g ` ℤring ) B ) = ( A x. B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   1c1 8180   x. cmul 8184   ZZcz 9644  ._gcmg 13922  SubGrpcsubg 13970  ℂ_fldccnfld 14893  ℤ_ringczring 14925

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-rp 10055  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-cj 11607  df-abs 11765  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-starv 13446  df-tset 13450  df-ple 13451  df-ds 13453  df-unif 13454  df-0g 13612  df-topgen 13614  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-mulg 13923  df-subg 13973  df-cmn 14089  df-mgp 14218  df-ring 14302  df-cring 14303  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-fg 14886  df-metu 14887  df-cnfld 14894  df-zring 14926

This theorem is used by:  mulgrhm2  14945