Theorem cnsubglem 13843

Description: Lemma for cnsubrglem 13844 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
cnsubglem.4	⊢ 𝐵 ∈ 𝐴

Assertion

Ref	Expression
cnsubglem	⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnsubglem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2	1	ssriv 3174	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
3		cnsubglem.4	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐴
4		elex2 2768	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴
6		cnsubglem.2	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
7	6	ralrimiva 2563	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
8		cnfldneg 13837	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
9	1, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
10		cnsubglem.3	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
11	9, 10	eqeltrd 2266	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
12	7, 11	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
13	12	rgen 2543	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
14		cnring 13834	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
15		ringgrp 13316	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
16		cnfldbas 13829	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17		cnfldadd 13830	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
18		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
19	16, 17, 18	issubg2m 13094	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
20	14, 15, 19	mp2b 8	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
21	2, 5, 13, 20	mpbir3an 1181	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468   ⊆ wss 3144  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  ℂcc 7827   + caddc 7832  -cneg 8147  Grpcgrp 12911  inv_gcminusg 12912  SubGrpcsubg 13072  Ringcrg 13311  ℂ_fldccnfld 13825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-addf 7951  ax-mulf 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-7 9001  df-8 9002  df-9 9003  df-n0 9195  df-z 9272  df-dec 9403  df-uz 9547  df-fz 10027  df-cj 10869  df-struct 12482  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-sets 12487  df-iress 12488  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-starv 12570  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-minusg 12915  df-subg 13075  df-cmn 13186  df-mgp 13236  df-ring 13313  df-cring 13314  df-icnfld 13826

This theorem is referenced by:  cnsubrglem  13844  zringmulg  13858