ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnsubglem GIF version

Theorem cnsubglem 13342
Description: Lemma for cnsubrglem 13343 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
cnsubglem.4 𝐵𝐴
Assertion
Ref Expression
cnsubglem 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnsubglem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
21ssriv 3159 . 2 𝐴 ⊆ ℂ
3 cnsubglem.4 . . 3 𝐵𝐴
4 elex2 2753 . . 3 (𝐵𝐴 → ∃𝑤 𝑤𝐴)
53, 4ax-mp 5 . 2 𝑤 𝑤𝐴
6 cnsubglem.2 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
76ralrimiva 2550 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
8 cnfldneg 13336 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
91, 8syl 14 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
10 cnsubglem.3 . . . . 5 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
119, 10eqeltrd 2254 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
127, 11jca 306 . . 3 (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
1312rgen 2530 . 2 𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
14 cnring 13333 . . 3 fld ∈ Ring
15 ringgrp 13115 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
16 cnfldbas 13328 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
17 cnfldadd 13329 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
18 eqid 2177 . . . 4 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
1916, 17, 18issubg2m 12980 . . 3 (ℂfld ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
2014, 15, 19mp2b 8 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑤 𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
212, 5, 13, 20mpbir3an 1179 1 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wss 3129  cfv 5215  (class class class)co 5872  cc 7806   + caddc 7811  -cneg 8125  Grpcgrp 12809  invgcminusg 12810  SubGrpcsubg 12958  Ringcrg 13110  fldccnfld 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-addf 7930  ax-mulf 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-tp 3600  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-5 8977  df-6 8978  df-7 8979  df-8 8980  df-9 8981  df-n0 9173  df-z 9250  df-dec 9381  df-uz 9525  df-fz 10005  df-cj 10844  df-struct 12456  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-starv 12543  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-subg 12961  df-cmn 13021  df-mgp 13062  df-ring 13112  df-cring 13113  df-icnfld 13325
This theorem is referenced by:  cnsubrglem  13343  zringmulg  13357
  Copyright terms: Public domain W3C validator