Theorem cnsubglem 14888

Description: Lemma for cnsubrglem 14889 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
cnsubglem.4	⊢ 𝐵 ∈ 𝐴

Assertion

Ref	Expression
cnsubglem	⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnsubglem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2	1	ssriv 3252	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
3		cnsubglem.4	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐴
4		elex2 2838	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴
6		cnsubglem.2	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
7	6	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
8		cnfldneg 14882	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
9	1, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
10		cnsubglem.3	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
11	9, 10	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
12	7, 11	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
13	12	rgen 2603	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
14		cnring 14879	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
15		ringgrp 14279	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
16		cnfldbas 14869	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17		cnfldadd 14871	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
18		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
19	16, 17, 18	issubg2m 13969	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
20	14, 15, 19	mp2b 8	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
21	2, 5, 13, 20	mpbir3an 1210	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167   + caddc 8172  -cneg 8488  Grpcgrp 13782  inv_gcminusg 13783  SubGrpcsubg 13947  Ringcrg 14274  ℂ_fldccnfld 14865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-rp 10034  df-fz 10391  df-cj 11585  df-abs 11743  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-starv 13423  df-tset 13427  df-ple 13428  df-ds 13430  df-unif 13431  df-0g 13589  df-topgen 13591  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-subg 13950  df-cmn 14066  df-mgp 14195  df-ring 14276  df-cring 14277  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-fg 14858  df-metu 14859  df-cnfld 14866

This theorem is referenced by:  cnsubrglem  14889  zringmulg  14905