Theorem cnsubglem 15025

Description: Lemma for cnsubrglem 15026 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
cnsubglem.4	⊢ 𝐵 ∈ 𝐴

Assertion

Ref	Expression
cnsubglem	⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cnsubglem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2	1	ssriv 3252	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
3		cnsubglem.4	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐴
4		elex2 2838	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴
6		cnsubglem.2	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
7	6	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
8		cnfldneg 15019	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
9	1, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
10		cnsubglem.3	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
11	9, 10	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
12	7, 11	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
13	12	rgen 2603	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
14		cnring 15016	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
15		ringgrp 14412	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
16		cnfldbas 15006	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17		cnfldadd 15008	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
18		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
19	16, 17, 18	issubg2m 14051	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
20	14, 15, 19	mp2b 8	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
21	2, 5, 13, 20	mpbir3an 1210	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183   + caddc 8188   -cneg 8505  Grpcgrp 13864  inv_gcminusg 13865  SubGrpcsubg 14029  Ringcrg 14407  ℂ_fldccnfld 15002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-cj 11629  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-starv 13505  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-unif 13513  df-0g 13671  df-topgen 13673  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-subg 14032  df-cmn 14179  df-mgp 14325  df-ring 14409  df-cring 14410  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-fg 14995  df-metu 14996  df-cnfld 15003

This theorem is used by:  cnsubrglem  15026  zringmulg  15042