Theorem cvgcmpub 11483

Description: An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
cvgcmp.2	|- ( ph -> N e. Z )
cvgcmp.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
cvgcmp.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
cvgcmpub.5	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> A )
cvgcmpub.6	|- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> B )
cvgcmpub.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgcmpub	|- ( ph -> B <_ A )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   ph, k   k, M   k, N   k, Z

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem cvgcmpub

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcmp.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		cvgcmp.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. Z )
3	2, 1	eleqtrdi 2270	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluzel2 9532	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		cvgcmpub.6	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> B )
7		cvgcmpub.5	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> A )
8		cvgcmp.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
9	1, 5, 8	serfre 10474	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) : Z --> RR )
10	9	ffvelcdmda 5651	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( seq M ( + , G ) ` n ) e. RR )
11		cvgcmp.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
12	1, 5, 11	serfre 10474	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : Z --> RR )
13	12	ffvelcdmda 5651	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( seq M ( + , F ) ` n ) e. RR )
14		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. Z )
15	14, 1	eleqtrdi 2270	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
16		simpl 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ph )
17	1	eleq2i 2244	. . . . 5 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
18	17	biimpri 133	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
19	16, 18, 8	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
20	16, 18, 11	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
21		cvgcmpub.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) <_ ( F ` k ) )
22	16, 18, 21	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) <_ ( F ` k ) )
23	15, 19, 20, 22	ser3le 10517	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( seq M ( + , G ) ` n ) <_ ( seq M ( + , F ) ` n ) )
24	1, 5, 6, 7, 10, 13, 23	climle 11341	1 |- ( ph -> B <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4003   ` cfv 5216   RRcr 7809   + caddc 7813   <_ cle 7992   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   seqcseq 10444   ~~> cli 11285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286

This theorem is referenced by: (None)