Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgcmpub GIF version

Theorem cvgcmpub 11257
 Description: An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgcmp.2 (𝜑𝑁𝑍)
cvgcmp.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
cvgcmp.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
cvgcmpub.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
cvgcmpub.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
cvgcmpub.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
cvgcmpub (𝜑𝐵𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem cvgcmpub
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmp.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 cvgcmp.2 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
32, 1eleqtrdi 2232 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzel2 9343 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 14 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 cvgcmpub.6 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
7 cvgcmpub.5 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
8 cvgcmp.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
91, 5, 8serfre 10260 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℝ)
109ffvelrnda 5555 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ ℝ)
11 cvgcmp.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
121, 5, 11serfre 10260 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
1312ffvelrnda 5555 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
14 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
1514, 1eleqtrdi 2232 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
16 simpl 108 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝜑)
171eleq2i 2206 . . . . 5 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1817biimpri 132 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
1916, 18, 8syl2an 287 . . 3 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
2016, 18, 11syl2an 287 . . 3 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
21 cvgcmpub.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
2216, 18, 21syl2an 287 . . 3 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
2315, 19, 20, 22ser3le 10303 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
241, 5, 6, 7, 10, 13, 23climle 11115 1 (𝜑𝐵𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  ℝcr 7631   + caddc 7635   ≤ cle 7813  ℤcz 9066  ℤ≥cuz 9338  seqcseq 10230   ⇝ cli 11059 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator