ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgcmpub GIF version

Theorem cvgcmpub 11213
Description: An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgcmp.2 (𝜑𝑁𝑍)
cvgcmp.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
cvgcmp.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
cvgcmpub.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
cvgcmpub.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
cvgcmpub.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
cvgcmpub (𝜑𝐵𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem cvgcmpub
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmp.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 cvgcmp.2 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
32, 1eleqtrdi 2210 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzel2 9299 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 14 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 cvgcmpub.6 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
7 cvgcmpub.5 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
8 cvgcmp.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
91, 5, 8serfre 10216 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℝ)
109ffvelrnda 5523 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ ℝ)
11 cvgcmp.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
121, 5, 11serfre 10216 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
1312ffvelrnda 5523 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
14 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
1514, 1eleqtrdi 2210 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
16 simpl 108 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝜑)
171eleq2i 2184 . . . . 5 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1817biimpri 132 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
1916, 18, 8syl2an 287 . . 3 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
2016, 18, 11syl2an 287 . . 3 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
21 cvgcmpub.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
2216, 18, 21syl2an 287 . . 3 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
2315, 19, 20, 22ser3le 10259 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
241, 5, 6, 7, 10, 13, 23climle 11071 1 (𝜑𝐵𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  cr 7587   + caddc 7591  cle 7769  cz 9022  cuz 9294  seqcseq 10186  cli 11015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator