Theorem fac3 10824

Description: The factorial of 3. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac3	⊢ (!‘3) = 6

Proof of Theorem fac3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9050	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	fveq2i 5561	. 2 ⊢ (!‘3) = (!‘(2 + 1))
3		2nn0 9266	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		facp1 10822	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1))
6		fac2 10823	. . . 4 ⊢ (!‘2) = 2
7		2p1e3 9124	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
8	6, 7	oveq12i 5934	. . 3 ⊢ ((!‘2) · (2 + 1)) = (2 · 3)
9		2cn 9061	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3cn 9065	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
11	9, 10	mulcomi 8032	. . 3 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
12		3t2e6 9147	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
13	8, 11, 12	3eqtri 2221	. 2 ⊢ ((!‘2) · (2 + 1)) = 6
14	2, 5, 13	3eqtri 2221	1 ⊢ (!‘3) = 6

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884  2c2 9041  3c3 9042  6c6 9045  ℕ₀cn0 9249  !cfa 10817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-fac 10818

This theorem is referenced by:  fac4  10825  4bc2eq6  10866  ef4p  11859  ef01bndlem  11921