Theorem fac3 10726

Description: The factorial of 3. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac3	⊢ (!‘3) = 6

Proof of Theorem fac3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8993	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	fveq2i 5530	. 2 ⊢ (!‘3) = (!‘(2 + 1))
3		2nn0 9207	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		facp1 10724	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1))
6		fac2 10725	. . . 4 ⊢ (!‘2) = 2
7		2p1e3 9066	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
8	6, 7	oveq12i 5900	. . 3 ⊢ ((!‘2) · (2 + 1)) = (2 · 3)
9		2cn 9004	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3cn 9008	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
11	9, 10	mulcomi 7977	. . 3 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
12		3t2e6 9089	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
13	8, 11, 12	3eqtri 2212	. 2 ⊢ ((!‘2) · (2 + 1)) = 6
14	2, 5, 13	3eqtri 2212	1 ⊢ (!‘3) = 6

Syntax hints:   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  1c1 7826   + caddc 7828   · cmul 7830  2c2 8984  3c3 8985  6c6 8988  ℕ₀cn0 9190  !cfa 10719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-seqfrec 10460  df-fac 10720

This theorem is referenced by:  fac4  10727  4bc2eq6  10768  ef4p  11716  ef01bndlem  11778