Theorem fac3 10659

Description: The factorial of 3. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac3	⊢ (!‘3) = 6

Proof of Theorem fac3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8931	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	fveq2i 5497	. 2 ⊢ (!‘3) = (!‘(2 + 1))
3		2nn0 9145	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		facp1 10657	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1))
6		fac2 10658	. . . 4 ⊢ (!‘2) = 2
7		2p1e3 9004	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
8	6, 7	oveq12i 5863	. . 3 ⊢ ((!‘2) · (2 + 1)) = (2 · 3)
9		2cn 8942	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3cn 8946	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
11	9, 10	mulcomi 7919	. . 3 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
12		3t2e6 9027	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
13	8, 11, 12	3eqtri 2195	. 2 ⊢ ((!‘2) · (2 + 1)) = 6
14	2, 5, 13	3eqtri 2195	1 ⊢ (!‘3) = 6

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  1c1 7768   + caddc 7770   · cmul 7772  2c2 8922  3c3 8923  6c6 8926  ℕ₀cn0 9128  !cfa 10652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-5 8933  df-6 8934  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-seqfrec 10395  df-fac 10653

This theorem is referenced by:  fac4  10660  4bc2eq6  10701  ef4p  11650  ef01bndlem  11712