Theorem fac3 10806

Description: The factorial of 3. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac3	⊢ (!‘3) = 6

Proof of Theorem fac3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9044	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	fveq2i 5558	. 2 ⊢ (!‘3) = (!‘(2 + 1))
3		2nn0 9260	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		facp1 10804	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1))
6		fac2 10805	. . . 4 ⊢ (!‘2) = 2
7		2p1e3 9118	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
8	6, 7	oveq12i 5931	. . 3 ⊢ ((!‘2) · (2 + 1)) = (2 · 3)
9		2cn 9055	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		3cn 9059	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
11	9, 10	mulcomi 8027	. . 3 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
12		3t2e6 9141	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
13	8, 11, 12	3eqtri 2218	. 2 ⊢ ((!‘2) · (2 + 1)) = 6
14	2, 5, 13	3eqtri 2218	1 ⊢ (!‘3) = 6

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879  2c2 9035  3c3 9036  6c6 9039  ℕ₀cn0 9243  !cfa 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-fac 10800

This theorem is referenced by:  fac4  10807  4bc2eq6  10848  ef4p  11840  ef01bndlem  11902