Theorem fnn0ind 9400

Description: Induction on the integers from 0 to N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnn0ind.1	|- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
fnn0ind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fnn0ind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fnn0ind.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fnn0ind.5	|- ( N e. NN0 -> ps )
fnn0ind.6	|- ( ( N e. NN0 /\ y e. NN0 /\ y < N ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fnn0ind	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fnn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 9297	. . . 4 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
2		nn0z 9304	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
3		0z 9295	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
4		fnn0ind.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
5		fnn0ind.2	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
6		fnn0ind.3	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
7		fnn0ind.4	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
8		elnn0z 9297	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
9		fnn0ind.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ps )
10	8, 9	sylbir 135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps )
11	10	3adant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps )
12		zre 9288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
13		zre 9288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
14		0re 7988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
15		lelttr 8077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 < N ) )
16		ltle 8076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
17	16	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
18	15, 17	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
19	14, 18	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
20	12, 13, 19	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
21	20	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) ) )
22	21	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) ) )
23	22	3impib 1203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) )
24	23	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> 0 <_ N )
25		elnn0z 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN0 <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) )
26	25	anbi1i 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) )
27		fnn0ind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ y e. NN0 /\ y < N ) -> ( ch -> th ) )
28	27	3expb 1206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ ( y e. NN0 /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
29	8, 26, 28	syl2anbr 292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) /\ ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
30	29	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
31	30	3impa 1196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
32	31	expd 258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) ) )
33	32	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) )
34	24, 33	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
35	34	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
36	4, 5, 6, 7, 11, 35	fzind 9399	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
37	3, 36	mpanl1 434	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
38	37	expcom 116	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. ZZ -> ta ) )
39	2, 38	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
40	39	3expa 1205	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
41	1, 40	sylanb 284	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
42	41	impcom 125	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> ta )
43	42	3impb 1201	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843   + caddc 7845   < clt 8023   <_ cle 8024   NN0cn0 9207   ZZcz 9284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285

This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  12076