Theorem fnn0ind 9307

Description: Induction on the integers from 0 to N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnn0ind.1	|- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
fnn0ind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fnn0ind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fnn0ind.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fnn0ind.5	|- ( N e. NN0 -> ps )
fnn0ind.6	|- ( ( N e. NN0 /\ y e. NN0 /\ y < N ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fnn0ind	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fnn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 9204	. . . 4 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
2		nn0z 9211	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
3		0z 9202	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
4		fnn0ind.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
5		fnn0ind.2	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
6		fnn0ind.3	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
7		fnn0ind.4	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
8		elnn0z 9204	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
9		fnn0ind.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ps )
10	8, 9	sylbir 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps )
11	10	3adant1 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps )
12		zre 9195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
13		zre 9195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
14		0re 7899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
15		lelttr 7987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 < N ) )
16		ltle 7986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
17	16	3adant2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
18	15, 17	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
19	14, 18	mp3an1 1314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
20	12, 13, 19	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
21	20	ex 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) ) )
22	21	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) ) )
23	22	3impib 1191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) )
24	23	impcom 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> 0 <_ N )
25		elnn0z 9204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN0 <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) )
26	25	anbi1i 454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) )
27		fnn0ind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ y e. NN0 /\ y < N ) -> ( ch -> th ) )
28	27	3expb 1194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ ( y e. NN0 /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
29	8, 26, 28	syl2anbr 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) /\ ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
30	29	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
31	30	3impa 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
32	31	expd 256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) ) )
33	32	impcom 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) )
34	24, 33	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
35	34	adantll 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
36	4, 5, 6, 7, 11, 35	fzind 9306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
37	3, 36	mpanl1 431	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
38	37	expcom 115	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. ZZ -> ta ) )
39	2, 38	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
40	39	3expa 1193	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
41	1, 40	sylanb 282	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
42	41	impcom 124	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> ta )
43	42	3impb 1189	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   NN0cn0 9114   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  11973