Theorem fnn0ind 9741

Description: Induction on the integers from 0 to N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnn0ind.1	|- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
fnn0ind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fnn0ind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fnn0ind.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fnn0ind.5	|- ( N e. NN0 -> ps )
fnn0ind.6	|- ( ( N e. NN0 /\ y e. NN0 /\ y < N ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fnn0ind	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fnn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 9636	. . . 4 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
2		nn0z 9643	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
3		0z 9634	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
4		fnn0ind.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
5		fnn0ind.2	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
6		fnn0ind.3	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
7		fnn0ind.4	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
8		elnn0z 9636	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
9		fnn0ind.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ps )
10	8, 9	sylbir 135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps )
11	10	3adant1 1046	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps )
12		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
13		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
14		0re 8316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
15		lelttr 8404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 < N ) )
16		ltle 8403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
17	16	3adant2 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
18	15, 17	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
19	14, 18	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
20	12, 13, 19	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
21	20	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) ) )
22	21	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) ) )
23	22	3impib 1232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) )
24	23	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> 0 <_ N )
25		elnn0z 9636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN0 <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) )
26	25	anbi1i 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) )
27		fnn0ind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ y e. NN0 /\ y < N ) -> ( ch -> th ) )
28	27	3expb 1235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ ( y e. NN0 /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
29	8, 26, 28	syl2anbr 292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) /\ ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
30	29	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
31	30	3impa 1225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
32	31	expd 258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) ) )
33	32	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) )
34	24, 33	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
35	34	adantll 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
36	4, 5, 6, 7, 11, 35	fzind 9740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
37	3, 36	mpanl1 438	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
38	37	expcom 116	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. ZZ -> ta ) )
39	2, 38	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
40	39	3expa 1234	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
41	1, 40	sylanb 284	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
42	41	impcom 125	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> ta )
43	42	3impb 1230	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   NN0cn0 9542   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  12797