ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdg0t GIF version

Theorem frecuzrdg0t 9732
Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrclt.t (𝜑𝑆𝑇)
frecuzrdgrclt.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdg0t.ran (𝜑𝑃 = ran 𝑅)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdg0t (𝜑 → (𝑃𝐶) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdg0t
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frecuzrdgrclt.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
3 frecuzrdgrclt.t . . . 4 (𝜑𝑆𝑇)
4 frecuzrdgrclt.f . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrclt.r . . . 4 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6 frecuzrdg0t.ran . . . 4 (𝜑𝑃 = ran 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6frecuzrdgtclt 9731 . . 3 (𝜑𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆)
8 ffun 5120 . . 3 (𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆 → Fun 𝑃)
97, 8syl 14 . 2 (𝜑 → Fun 𝑃)
105fveq1i 5257 . . . . 5 (𝑅‘∅) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅)
11 opexg 4022 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
121, 2, 11syl2anc 403 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
13 frec0g 6097 . . . . . 6 (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
1510, 14syl5eq 2129 . . . 4 (𝜑 → (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
161, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 9725 . . . . . 6 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
17 ffn 5117 . . . . . 6 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
1816, 17syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑅 Fn ω)
19 peano1 4375 . . . . 5 ∅ ∈ ω
20 fnfvelrn 5379 . . . . 5 ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
2118, 19, 20sylancl 404 . . . 4 (𝜑 → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
2215, 21eqeltrrd 2162 . . 3 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅)
2322, 6eleqtrrd 2164 . 2 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑃)
24 funopfv 5292 . 2 (Fun 𝑃 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → (𝑃𝐶) = 𝐴))
259, 23, 24sylc 61 1 (𝜑 → (𝑃𝐶) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  Vcvv 2614  wss 2986  c0 3272  cop 3428  ωcom 4371   × cxp 4402  ran crn 4405  Fun wfun 4966   Fn wfn 4967  wf 4968  cfv 4972  (class class class)co 5594  cmpt2 5596  freccfrec 6090  1c1 7272   + caddc 7274  cz 8660  cuz 8928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929
This theorem is referenced by:  iseq1t  9767
  Copyright terms: Public domain W3C validator