Theorem frecuzrdg0t 10548

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.t	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
frecuzrdgrclt.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdg0t.ran	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdg0t	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐶) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdg0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frecuzrdgrclt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		frecuzrdgrclt.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4		frecuzrdgrclt.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrclt.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6		frecuzrdg0t.ran	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtclt 10547	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)
8		ffun 5422	. . 3 ⊢ (𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆 → Fun 𝑃)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
10	5	fveq1i 5571	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘∅) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅)
11		opexg 4271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
13		frec0g 6473	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
15	10, 14	eqtrid 2249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
16	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10541	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
17		ffn 5419	. . . . . 6 ⊢ (𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn ω)
19		peano1 4640	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
20		fnfvelrn 5706	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
22	15, 21	eqeltrrd 2282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅)
23	22, 6	eleqtrrd 2284	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑃)
24		funopfv 5612	. 2 ⊢ (Fun 𝑃 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → (𝑃‘𝐶) = 𝐴))
25	9, 23, 24	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165  ∅c0 3459  ⟨cop 3635  ωcom 4636   × cxp 4671  ran crn 4674  Fun wfun 5262   Fn wfn 5263  ⟶wf 5264  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934   ∈ cmpo 5936  freccfrec 6466  1c1 7908   + caddc 7910  ℤcz 9354  ℤ_≥cuz 9630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631

This theorem is referenced by:  seq3-1  10588  seq1cd  10595