Theorem frecuzrdg0t 10656

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.t	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
frecuzrdgrclt.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdg0t.ran	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdg0t	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐶) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdg0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frecuzrdgrclt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		frecuzrdgrclt.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4		frecuzrdgrclt.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrclt.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6		frecuzrdg0t.ran	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtclt 10655	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)
8		ffun 5476	. . 3 ⊢ (𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆 → Fun 𝑃)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
10	5	fveq1i 5630	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘∅) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅)
11		opexg 4314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
13		frec0g 6549	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
15	10, 14	eqtrid 2274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
16	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
17		ffn 5473	. . . . . 6 ⊢ (𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn ω)
19		peano1 4686	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
20		fnfvelrn 5769	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
22	15, 21	eqeltrrd 2307	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅)
23	22, 6	eleqtrrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑃)
24		funopfv 5673	. 2 ⊢ (Fun 𝑃 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → (𝑃‘𝐶) = 𝐴))
25	9, 23, 24	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  ⟨cop 3669  ωcom 4682   × cxp 4717  ran crn 4720  Fun wfun 5312   Fn wfn 5313  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ∈ cmpo 6009  freccfrec 6542  1c1 8011   + caddc 8013  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  seq3-1  10696  seq1cd  10703