Theorem frecuzrdg0t 10589

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.t	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
frecuzrdgrclt.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdg0t.ran	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdg0t	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐶) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdg0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frecuzrdgrclt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		frecuzrdgrclt.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4		frecuzrdgrclt.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrclt.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6		frecuzrdg0t.ran	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtclt 10588	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)
8		ffun 5438	. . 3 ⊢ (𝑃:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆 → Fun 𝑃)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
10	5	fveq1i 5590	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘∅) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅)
11		opexg 4280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
13		frec0g 6496	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
15	10, 14	eqtrid 2251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
16	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
17		ffn 5435	. . . . . 6 ⊢ (𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn ω)
19		peano1 4650	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
20		fnfvelrn 5725	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
22	15, 21	eqeltrrd 2284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅)
23	22, 6	eleqtrrd 2286	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑃)
24		funopfv 5631	. 2 ⊢ (Fun 𝑃 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → (𝑃‘𝐶) = 𝐴))
25	9, 23, 24	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  ⟨cop 3641  ωcom 4646   × cxp 4681  ran crn 4684  Fun wfun 5274   Fn wfn 5275  ⟶wf 5276  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957   ∈ cmpo 5959  freccfrec 6489  1c1 7946   + caddc 7948  ℤcz 9392  ℤ_≥cuz 9668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669

This theorem is referenced by:  seq3-1  10629  seq1cd  10636