Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdg0t GIF version

Theorem frecuzrdg0t 10188
 Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrclt.t (𝜑𝑆𝑇)
frecuzrdgrclt.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdg0t.ran (𝜑𝑃 = ran 𝑅)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdg0t (𝜑 → (𝑃𝐶) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdg0t
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frecuzrdgrclt.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
3 frecuzrdgrclt.t . . . 4 (𝜑𝑆𝑇)
4 frecuzrdgrclt.f . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrclt.r . . . 4 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6 frecuzrdg0t.ran . . . 4 (𝜑𝑃 = ran 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6frecuzrdgtclt 10187 . . 3 (𝜑𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆)
8 ffun 5270 . . 3 (𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆 → Fun 𝑃)
97, 8syl 14 . 2 (𝜑 → Fun 𝑃)
105fveq1i 5415 . . . . 5 (𝑅‘∅) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅)
11 opexg 4145 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
121, 2, 11syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
13 frec0g 6287 . . . . . 6 (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
1510, 14syl5eq 2182 . . . 4 (𝜑 → (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
161, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 10181 . . . . . 6 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
17 ffn 5267 . . . . . 6 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
1816, 17syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑅 Fn ω)
19 peano1 4503 . . . . 5 ∅ ∈ ω
20 fnfvelrn 5545 . . . . 5 ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
2118, 19, 20sylancl 409 . . . 4 (𝜑 → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
2215, 21eqeltrrd 2215 . . 3 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅)
2322, 6eleqtrrd 2217 . 2 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑃)
24 funopfv 5454 . 2 (Fun 𝑃 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → (𝑃𝐶) = 𝐴))
259, 23, 24sylc 62 1 (𝜑 → (𝑃𝐶) = 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ⊆ wss 3066  ∅c0 3358  ⟨cop 3525  ωcom 4499   × cxp 4532  ran crn 4535  Fun wfun 5112   Fn wfn 5113  ⟶wf 5114  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767   ∈ cmpo 5769  freccfrec 6280  1c1 7614   + caddc 7616  ℤcz 9047  ℤ≥cuz 9319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320 This theorem is referenced by:  seq3-1  10226  seq1cd  10231
 Copyright terms: Public domain W3C validator