Theorem gcdmultipled 12569

Description: The greatest common divisor of a nonnegative integer M and a multiple of it is M itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdmultipled.1	|- ( ph -> M e. NN0 )
gcdmultipled.2	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
gcdmultipled	|- ( ph -> ( M gcd ( N x. M ) ) = M )

Proof of Theorem gcdmultipled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmultipled.2	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
2		gcdmultipled.1	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
3	2	nn0zd 9600	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		0zd 9491	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
5		gcdaddm 12560	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( M gcd 0 ) = ( M gcd ( 0 + ( N x. M ) ) ) )
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1273	. 2 |- ( ph -> ( M gcd 0 ) = ( M gcd ( 0 + ( N x. M ) ) ) )
7		nn0gcdid0 12557	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( M gcd 0 ) = M )
8	2, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( M gcd 0 ) = M )
9	1, 3	zmulcld 9608	. . . . 5 |- ( ph -> ( N x. M ) e. ZZ )
10	9	zcnd 9603	. . . 4 |- ( ph -> ( N x. M ) e. CC )
11	10	addlidd 8329	. . 3 |- ( ph -> ( 0 + ( N x. M ) ) = ( N x. M ) )
12	11	oveq2d 6034	. 2 |- ( ph -> ( M gcd ( 0 + ( N x. M ) ) ) = ( M gcd ( N x. M ) ) )
13	6, 8, 12	3eqtr3rd 2273	1 |- ( ph -> ( M gcd ( N x. M ) ) = M )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6018   0cc0 8032   + caddc 8035   x. cmul 8037   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   gcd cgcd 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-dvds 12354  df-gcd 12530

This theorem is referenced by:  dvdsgcdidd  12570