Theorem gcdmultipled 12104

Description: The greatest common divisor of a nonnegative integer 𝑀 and a multiple of it is 𝑀 itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdmultipled.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
gcdmultipled.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdmultipled	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (𝑁 · 𝑀)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultipled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmultipled.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		gcdmultipled.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9423	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		0zd 9315	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
5		gcdaddm 12095	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 0) = (𝑀 gcd (0 + (𝑁 · 𝑀))))
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 0) = (𝑀 gcd (0 + (𝑁 · 𝑀))))
7		nn0gcdid0 12092	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
8	2, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
9	1, 3	zmulcld 9431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℤ)
10	9	zcnd 9426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
11	10	addlidd 8155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑁 · 𝑀)) = (𝑁 · 𝑀))
12	11	oveq2d 5922	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (0 + (𝑁 · 𝑀))) = (𝑀 gcd (𝑁 · 𝑀)))
13	6, 8, 12	3eqtr3rd 2231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (𝑁 · 𝑀)) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5906  0cc0 7858   + caddc 7861   · cmul 7863  ℕ₀cn0 9226  ℤcz 9303   gcd cgcd 12053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-frec 6431  df-sup 7029  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-n0 9227  df-z 9304  df-uz 9579  df-q 9671  df-rp 9706  df-fz 10061  df-fzo 10195  df-fl 10325  df-mod 10380  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117  df-dvds 11905  df-gcd 12054

This theorem is referenced by:  dvdsgcdidd  12105