Theorem gfsum0 16788

Description: An empty finite group sum is the identity. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
gfsum0	|- ( G e. CMnd -> ( G gfsumgf (/) ) = ( 0g ` G ) )

Proof of Theorem gfsum0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		id 19	. . 3 |- ( G e. CMnd -> G e. CMnd )
3		0nn0 9460	. . . 4 |- 0 e. NN0
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( G e. CMnd -> 0 e. NN0 )
5		f0 5536	. . . . 5 |- (/) : (/) --> ( Base ` G )
6		fz10 10324	. . . . . 6 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
7	6	feq2i 5483	. . . . 5 |- ( (/) : ( 1 ... 0 ) --> ( Base ` G ) <-> (/) : (/) --> ( Base ` G ) )
8	5, 7	mpbir 146	. . . 4 |- (/) : ( 1 ... 0 ) --> ( Base ` G )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( G e. CMnd -> (/) : ( 1 ... 0 ) --> ( Base ` G ) )
10	1, 2, 4, 9	gsumgfsum1 16787	. 2 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg (/) ) = ( G gfsumgf (/) ) )
11		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	11	gsum0g 13540	. 2 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
13	10, 12	eqtr3d 2266	1 |- ( G e. CMnd -> ( G gfsumgf (/) ) = ( 0g ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   (/)c0 3496   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8075   1c1 8076   NN0cn0 9445   ...cfz 10286   Basecbs 13143   0gc0g 13400   gsum_g cgsu 13401  CMndccmn 13932   gfsum_gf cgfsu 16784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-ihash 11082  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-igsum 13403  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-cmn 13934  df-gfsum 16785

This theorem is referenced by:  gsumgfsum  16790  gfsumcl  16793