Theorem gfsum0 16976

Description: An empty finite group sum is the identity. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
gfsum0	|- ( G e. CMnd -> ( G gfsumgf (/) ) = ( 0g ` G ) )

Proof of Theorem gfsum0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		id 19	. . 3 |- ( G e. CMnd -> G e. CMnd )
3		0nn0 9528	. . . 4 |- 0 e. NN0
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( G e. CMnd -> 0 e. NN0 )
5		f0 5563	. . . . 5 |- (/) : (/) --> ( Base ` G )
6		fz10 10400	. . . . . 6 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
7	6	feq2i 5507	. . . . 5 |- ( (/) : ( 1 ... 0 ) --> ( Base ` G ) <-> (/) : (/) --> ( Base ` G ) )
8	5, 7	mpbir 146	. . . 4 |- (/) : ( 1 ... 0 ) --> ( Base ` G )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( G e. CMnd -> (/) : ( 1 ... 0 ) --> ( Base ` G ) )
10	1, 2, 4, 9	gsumgfsum1 16975	. 2 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg (/) ) = ( G gfsumgf (/) ) )
11		eqid 2234	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	11	gsum0g 13693	. 2 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
13	10, 12	eqtr3d 2269	1 |- ( G e. CMnd -> ( G gfsumgf (/) ) = ( 0g ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   (/)c0 3512   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   1c1 8144   NN0cn0 9513   ...cfz 10361   Basecbs 13296   0gc0g 13553   gsum_g cgsu 13554  CMndccmn 14085   gfsum_gf cgfsu 16972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-ihash 11164  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-igsum 13556  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-cmn 14087  df-gfsum 16973

This theorem is referenced by:  gsumgfsum  16978  gfsumz  16981  gfsumcl  16982