Theorem gsumgfsumlem 16789

Description: Shifting the indexes of a group sum indexed by consecutive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsumlem.b	|- B = ( Base ` G )
gsumgfsumlem.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumgfsumlem.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
gsumgfsumlem.f	|- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
gsumgfsumlem.s	|- S = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsumlem	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. S ) ) )

Distinct variable groups:   j, M   j, N   ph, j

Allowed substitution hints:   B( j)   S( j)   F( j)   G( j)

Proof of Theorem gsumgfsumlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsumlem.m	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		1zzd 9549	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		eluzel2 9803	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
5	2, 4	zsubcld 9650	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. ZZ )
6		eluzelz 9808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
8	5, 4, 7	mptfzshft 12064	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
9		gsumgfsumlem.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )
10	4	zcnd 9646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. CC )
11		1cnd 8238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. CC )
12	10, 11	pncan3d 8536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M + ( 1 - M ) ) = 1 )
13	12	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
14	13	mpteq1d 4179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
15	9, 14	eqtr4id 2283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
16	13	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
17		eqidd 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( M ... N ) )
18	15, 16, 17	f1oeq123d 5586	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
19	8, 18	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
20		f1of 5592	. . . . . . . . 9 |- ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
23		1zzd 9549	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
24	7, 5	zaddcld 9649	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
26		elfzelz 10303	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
28	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. ZZ )
29	27, 28	zaddcld 9649	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
30	4	zred 9645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. RR )
32	27	zred 9645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. RR )
33		1red 8237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 e. RR )
34		elfzle1 10305	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... N ) -> M <_ k )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M <_ k )
36	31, 32, 33, 35	lesub2dd 8785	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - k ) <_ ( 1 - M ) )
37	33, 31	resubcld 8603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. RR )
38	33, 32, 37	lesubadd2d 8767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( 1 - k ) <_ ( 1 - M ) <-> 1 <_ ( k + ( 1 - M ) ) ) )
39	36, 38	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 <_ ( k + ( 1 - M ) ) )
40	7	zred 9645	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. RR )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. RR )
42		elfzle2 10306	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ N )
44	32, 41, 37, 43	leadd1dd 8782	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) <_ ( N + ( 1 - M ) ) )
45	23, 25, 29, 39, 44	elfzd 10294	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
46		fvco3 5726	. . . . . . 7 |- ( ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) /\ ( k + ( 1 - M ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) )
47	22, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) )
48	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> S = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
49	48	fveq1d 5650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
50		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )
51		oveq1 6035	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + ( 1 - M ) ) -> ( j - ( 1 - M ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
53	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
54	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. ZZ )
55		fzaddel 10337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( 1 - M ) e. ZZ ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) )
56	53, 54, 27, 28, 55	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) )
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
58	29, 28	zsubcld 9650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) e. ZZ )
59	50, 51, 57, 58	fvmptd3 5749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
60	49, 59	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
61	26	zcnd 9646	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. CC )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. CC )
63	11, 10	subcld 8533	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. CC )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. CC )
65	62, 64	pncand 8534	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) = k )
66	60, 65	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = k )
67	66	fveq2d 5652	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) = ( F ` k ) )
68	47, 67	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` k ) )
69	68	eqcomd 2237	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
70		gsumgfsumlem.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. CMnd )
71		plusgslid 13256	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
72	71	slotex 13170	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( +g ` G ) e. _V )
73	70, 72	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` G ) e. _V )
74		gsumgfsumlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
75	4, 7	fzfigd 10737	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
76	74, 75	fexd 5894	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
77	2, 24	fzfigd 10737	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin )
78		mptexg 5889	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin -> ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) e. _V )
79	9, 78	eqeltrid 2318	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin -> S e. _V )
80	77, 79	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
81		coexg 5288	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ S e. _V ) -> ( F o. S ) e. _V )
82	76, 80, 81	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( F o. S ) e. _V )
83	1, 5, 69, 73, 76, 82	seqshft2g 10788	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) = ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
84	12	seqeq1d 10759	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) )
85	84	fveq1d 5650	. . 3 |- ( ph -> ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
86	83, 85	eqtrd 2264	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
87		gsumgfsumlem.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
88		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
89	87, 88, 70, 1, 74	gsumval2 13541	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) )
90		1red 8237	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
91		eluzle 9811	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
92	1, 91	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ N )
93	30, 40, 90, 92	lesub2dd 8785	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - N ) <_ ( 1 - M ) )
94	90, 30	resubcld 8603	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. RR )
95	90, 40, 94	lesubadd2d 8767	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - N ) <_ ( 1 - M ) <-> 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) ) )
96	93, 95	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) )
97		eluz2 9804	. . . 4 |- ( ( N + ( 1 - M ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) ) )
98	2, 24, 96, 97	syl3anbrc 1208	. . 3 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
99		fco 5507	. . . 4 |- ( ( F : ( M ... N ) --> B /\ S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) ) -> ( F o. S ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> B )
100	74, 21, 99	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( F o. S ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> B )
101	87, 88, 70, 98, 100	gsumval2 13541	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F o. S ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
102	86, 89, 101	3eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   o. ccom 4735   -->wf 5329   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   CCcc 8073   RRcr 8074   1c1 8076   + caddc 8078   <_ cle 8258   - cmin 8393   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   ...cfz 10286   seqcseq 10753   Basecbs 13143   +g cplusg 13221   gsum_g cgsu 13401  CMndccmn 13932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-seqfrec 10754  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-igsum 13403

This theorem is referenced by:  gsumgfsum  16790