Theorem gsumgfsumlem 16633

Description: Shifting the indexes of a group sum indexed by consecutive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsumlem.b	|- B = ( Base ` G )
gsumgfsumlem.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumgfsumlem.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
gsumgfsumlem.f	|- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
gsumgfsumlem.s	|- S = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsumlem	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. S ) ) )

Distinct variable groups:   j, M   j, N   ph, j

Allowed substitution hints:   B( j)   S( j)   F( j)   G( j)

Proof of Theorem gsumgfsumlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsumlem.m	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		1zzd 9499	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		eluzel2 9753	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
5	2, 4	zsubcld 9600	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. ZZ )
6		eluzelz 9758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
8	5, 4, 7	mptfzshft 11996	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
9		gsumgfsumlem.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )
10	4	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. CC )
11		1cnd 8188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. CC )
12	10, 11	pncan3d 8486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M + ( 1 - M ) ) = 1 )
13	12	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
14	13	mpteq1d 4172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
15	9, 14	eqtr4id 2281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
16	13	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
17		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( M ... N ) )
18	15, 16, 17	f1oeq123d 5574	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
19	8, 18	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
20		f1of 5580	. . . . . . . . 9 |- ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
23		1zzd 9499	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
24	7, 5	zaddcld 9599	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
26		elfzelz 10253	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
28	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. ZZ )
29	27, 28	zaddcld 9599	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
30	4	zred 9595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. RR )
32	27	zred 9595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. RR )
33		1red 8187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 e. RR )
34		elfzle1 10255	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... N ) -> M <_ k )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M <_ k )
36	31, 32, 33, 35	lesub2dd 8735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - k ) <_ ( 1 - M ) )
37	33, 31	resubcld 8553	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. RR )
38	33, 32, 37	lesubadd2d 8717	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( 1 - k ) <_ ( 1 - M ) <-> 1 <_ ( k + ( 1 - M ) ) ) )
39	36, 38	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 <_ ( k + ( 1 - M ) ) )
40	7	zred 9595	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. RR )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. RR )
42		elfzle2 10256	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ N )
44	32, 41, 37, 43	leadd1dd 8732	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) <_ ( N + ( 1 - M ) ) )
45	23, 25, 29, 39, 44	elfzd 10244	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
46		fvco3 5713	. . . . . . 7 |- ( ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) /\ ( k + ( 1 - M ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) )
47	22, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) )
48	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> S = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
49	48	fveq1d 5637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
50		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )
51		oveq1 6020	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + ( 1 - M ) ) -> ( j - ( 1 - M ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
53	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
54	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. ZZ )
55		fzaddel 10287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( 1 - M ) e. ZZ ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) )
56	53, 54, 27, 28, 55	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) )
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
58	29, 28	zsubcld 9600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) e. ZZ )
59	50, 51, 57, 58	fvmptd3 5736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
60	49, 59	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
61	26	zcnd 9596	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. CC )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. CC )
63	11, 10	subcld 8483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. CC )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. CC )
65	62, 64	pncand 8484	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) = k )
66	60, 65	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = k )
67	66	fveq2d 5639	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) = ( F ` k ) )
68	47, 67	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` k ) )
69	68	eqcomd 2235	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
70		gsumgfsumlem.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. CMnd )
71		plusgslid 13188	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
72	71	slotex 13102	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( +g ` G ) e. _V )
73	70, 72	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` G ) e. _V )
74		gsumgfsumlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
75	4, 7	fzfigd 10686	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
76	74, 75	fexd 5879	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
77	2, 24	fzfigd 10686	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin )
78		mptexg 5874	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin -> ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) e. _V )
79	9, 78	eqeltrid 2316	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin -> S e. _V )
80	77, 79	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
81		coexg 5279	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ S e. _V ) -> ( F o. S ) e. _V )
82	76, 80, 81	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( F o. S ) e. _V )
83	1, 5, 69, 73, 76, 82	seqshft2g 10737	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) = ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
84	12	seqeq1d 10708	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) )
85	84	fveq1d 5637	. . 3 |- ( ph -> ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
86	83, 85	eqtrd 2262	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
87		gsumgfsumlem.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
88		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
89	87, 88, 70, 1, 74	gsumval2 13473	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) )
90		1red 8187	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
91		eluzle 9761	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
92	1, 91	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ N )
93	30, 40, 90, 92	lesub2dd 8735	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - N ) <_ ( 1 - M ) )
94	90, 30	resubcld 8553	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. RR )
95	90, 40, 94	lesubadd2d 8717	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - N ) <_ ( 1 - M ) <-> 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) ) )
96	93, 95	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) )
97		eluz2 9754	. . . 4 |- ( ( N + ( 1 - M ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) ) )
98	2, 24, 96, 97	syl3anbrc 1205	. . 3 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
99		fco 5497	. . . 4 |- ( ( F : ( M ... N ) --> B /\ S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) ) -> ( F o. S ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> B )
100	74, 21, 99	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( F o. S ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> B )
101	87, 88, 70, 98, 100	gsumval2 13473	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F o. S ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
102	86, 89, 101	3eqtr4d 2272	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   o. ccom 4727   -->wf 5320   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   CCcc 8023   RRcr 8024   1c1 8026   + caddc 8028   <_ cle 8208   - cmin 8343   ZZcz 9472   ZZ>=cuz 9748   ...cfz 10236   seqcseq 10702   Basecbs 13075   +g cplusg 13153   gsum_g cgsu 13333  CMndccmn 13864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-seqfrec 10703  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-0g 13334  df-igsum 13335

This theorem is referenced by:  gsumgfsum  16634