Theorem gsumgfsumlem 16856

Description: Shifting the indexes of a group sum indexed by consecutive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsumlem.b	|- B = ( Base ` G )
gsumgfsumlem.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumgfsumlem.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
gsumgfsumlem.f	|- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
gsumgfsumlem.s	|- S = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsumlem	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. S ) ) )

Distinct variable groups:   j, M   j, N   ph, j

Allowed substitution hints:   B( j)   S( j)   F( j)   G( j)

Proof of Theorem gsumgfsumlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsumlem.m	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		1zzd 9603	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		eluzel2 9857	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
5	2, 4	zsubcld 9704	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. ZZ )
6		eluzelz 9862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
8	5, 4, 7	mptfzshft 12124	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
9		gsumgfsumlem.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )
10	4	zcnd 9700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. CC )
11		1cnd 8289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. CC )
12	10, 11	pncan3d 8586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M + ( 1 - M ) ) = 1 )
13	12	oveq1d 6064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
14	13	mpteq1d 4194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
15	9, 14	eqtr4id 2284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
16	13	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
17		eqidd 2233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( M ... N ) )
18	15, 16, 17	f1oeq123d 5607	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
19	8, 18	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
20		f1of 5613	. . . . . . . . 9 |- ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
23		1zzd 9603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
24	7, 5	zaddcld 9703	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
26		elfzelz 10358	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
28	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. ZZ )
29	27, 28	zaddcld 9703	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
30	4	zred 9699	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. RR )
32	27	zred 9699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. RR )
33		1red 8288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 e. RR )
34		elfzle1 10360	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... N ) -> M <_ k )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M <_ k )
36	31, 32, 33, 35	lesub2dd 8835	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - k ) <_ ( 1 - M ) )
37	33, 31	resubcld 8653	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. RR )
38	33, 32, 37	lesubadd2d 8817	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( 1 - k ) <_ ( 1 - M ) <-> 1 <_ ( k + ( 1 - M ) ) ) )
39	36, 38	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 <_ ( k + ( 1 - M ) ) )
40	7	zred 9699	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. RR )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. RR )
42		elfzle2 10361	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ N )
44	32, 41, 37, 43	leadd1dd 8832	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) <_ ( N + ( 1 - M ) ) )
45	23, 25, 29, 39, 44	elfzd 10349	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
46		fvco3 5747	. . . . . . 7 |- ( ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) /\ ( k + ( 1 - M ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) )
47	22, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) )
48	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> S = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
49	48	fveq1d 5671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
50		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )
51		oveq1 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + ( 1 - M ) ) -> ( j - ( 1 - M ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
53	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
54	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. ZZ )
55		fzaddel 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( 1 - M ) e. ZZ ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) )
56	53, 54, 27, 28, 55	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) )
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
58	29, 28	zsubcld 9704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) e. ZZ )
59	50, 51, 57, 58	fvmptd3 5770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
60	49, 59	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
61	26	zcnd 9700	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. CC )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. CC )
63	11, 10	subcld 8583	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. CC )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. CC )
65	62, 64	pncand 8584	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) = k )
66	60, 65	eqtrd 2265	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = k )
67	66	fveq2d 5673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) = ( F ` k ) )
68	47, 67	eqtrd 2265	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` k ) )
69	68	eqcomd 2238	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
70		gsumgfsumlem.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. CMnd )
71		plusgslid 13317	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
72	71	slotex 13231	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( +g ` G ) e. _V )
73	70, 72	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` G ) e. _V )
74		gsumgfsumlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
75	4, 7	fzfigd 10792	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
76	74, 75	fexd 5915	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
77	2, 24	fzfigd 10792	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin )
78		mptexg 5910	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin -> ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) e. _V )
79	9, 78	eqeltrid 2319	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin -> S e. _V )
80	77, 79	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
81		coexg 5306	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ S e. _V ) -> ( F o. S ) e. _V )
82	76, 80, 81	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( F o. S ) e. _V )
83	1, 5, 69, 73, 76, 82	seqshft2g 10843	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) = ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
84	12	seqeq1d 10814	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) )
85	84	fveq1d 5671	. . 3 |- ( ph -> ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
86	83, 85	eqtrd 2265	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
87		gsumgfsumlem.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
88		eqid 2232	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
89	87, 88, 70, 1, 74	gsumval2 13602	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) )
90		1red 8288	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
91		eluzle 9865	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
92	1, 91	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ N )
93	30, 40, 90, 92	lesub2dd 8835	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - N ) <_ ( 1 - M ) )
94	90, 30	resubcld 8653	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. RR )
95	90, 40, 94	lesubadd2d 8817	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - N ) <_ ( 1 - M ) <-> 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) ) )
96	93, 95	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) )
97		eluz2 9858	. . . 4 |- ( ( N + ( 1 - M ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) ) )
98	2, 24, 96, 97	syl3anbrc 1208	. . 3 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
99		fco 5526	. . . 4 |- ( ( F : ( M ... N ) --> B /\ S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) ) -> ( F o. S ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> B )
100	74, 21, 99	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( F o. S ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> B )
101	87, 88, 70, 98, 100	gsumval2 13602	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F o. S ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
102	86, 89, 101	3eqtr4d 2275	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   class class class wbr 4108   |-> cmpt 4170   o. ccom 4752   -->wf 5347   -1-1-onto->wf1o 5350   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Fincfn 6974   CCcc 8124   RRcr 8125   1c1 8127   + caddc 8129   <_ cle 8308   - cmin 8443   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852   ...cfz 10341   seqcseq 10808   Basecbs 13204   +g cplusg 13282   gsum_g cgsu 13462  CMndccmn 13993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-seqfrec 10809  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-0g 13463  df-igsum 13464

This theorem is referenced by:  gsumgfsum  16857