Theorem gsumgfsumlem 16704

Description: Shifting the indexes of a group sum indexed by consecutive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsumlem.b	|- B = ( Base ` G )
gsumgfsumlem.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumgfsumlem.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
gsumgfsumlem.f	|- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
gsumgfsumlem.s	|- S = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsumlem	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. S ) ) )

Distinct variable groups:   j, M   j, N   ph, j

Allowed substitution hints:   B( j)   S( j)   F( j)   G( j)

Proof of Theorem gsumgfsumlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsumlem.m	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		1zzd 9506	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		eluzel2 9760	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
5	2, 4	zsubcld 9607	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. ZZ )
6		eluzelz 9765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
8	5, 4, 7	mptfzshft 12005	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
9		gsumgfsumlem.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )
10	4	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. CC )
11		1cnd 8195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. CC )
12	10, 11	pncan3d 8493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M + ( 1 - M ) ) = 1 )
13	12	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
14	13	mpteq1d 4174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
15	9, 14	eqtr4id 2283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
16	13	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
17		eqidd 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( M ... N ) )
18	15, 16, 17	f1oeq123d 5577	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
19	8, 18	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
20		f1of 5583	. . . . . . . . 9 |- ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
23		1zzd 9506	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
24	7, 5	zaddcld 9606	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
26		elfzelz 10260	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
28	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. ZZ )
29	27, 28	zaddcld 9606	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
30	4	zred 9602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. RR )
32	27	zred 9602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. RR )
33		1red 8194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 e. RR )
34		elfzle1 10262	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... N ) -> M <_ k )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M <_ k )
36	31, 32, 33, 35	lesub2dd 8742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - k ) <_ ( 1 - M ) )
37	33, 31	resubcld 8560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. RR )
38	33, 32, 37	lesubadd2d 8724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( 1 - k ) <_ ( 1 - M ) <-> 1 <_ ( k + ( 1 - M ) ) ) )
39	36, 38	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 <_ ( k + ( 1 - M ) ) )
40	7	zred 9602	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. RR )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. RR )
42		elfzle2 10263	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ N )
44	32, 41, 37, 43	leadd1dd 8739	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) <_ ( N + ( 1 - M ) ) )
45	23, 25, 29, 39, 44	elfzd 10251	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
46		fvco3 5717	. . . . . . 7 |- ( ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) /\ ( k + ( 1 - M ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) )
47	22, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) )
48	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> S = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
49	48	fveq1d 5641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
50		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )
51		oveq1 6025	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + ( 1 - M ) ) -> ( j - ( 1 - M ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
53	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
54	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. ZZ )
55		fzaddel 10294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( 1 - M ) e. ZZ ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) )
56	53, 54, 27, 28, 55	syl22anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) )
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
58	29, 28	zsubcld 9607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) e. ZZ )
59	50, 51, 57, 58	fvmptd3 5740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
60	49, 59	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
61	26	zcnd 9603	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. CC )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. CC )
63	11, 10	subcld 8490	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. CC )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. CC )
65	62, 64	pncand 8491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) = k )
66	60, 65	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = k )
67	66	fveq2d 5643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) = ( F ` k ) )
68	47, 67	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` k ) )
69	68	eqcomd 2237	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
70		gsumgfsumlem.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. CMnd )
71		plusgslid 13197	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
72	71	slotex 13111	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( +g ` G ) e. _V )
73	70, 72	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` G ) e. _V )
74		gsumgfsumlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
75	4, 7	fzfigd 10694	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
76	74, 75	fexd 5884	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
77	2, 24	fzfigd 10694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin )
78		mptexg 5879	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin -> ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) e. _V )
79	9, 78	eqeltrid 2318	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin -> S e. _V )
80	77, 79	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
81		coexg 5281	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ S e. _V ) -> ( F o. S ) e. _V )
82	76, 80, 81	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( F o. S ) e. _V )
83	1, 5, 69, 73, 76, 82	seqshft2g 10745	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) = ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
84	12	seqeq1d 10716	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) )
85	84	fveq1d 5641	. . 3 |- ( ph -> ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
86	83, 85	eqtrd 2264	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
87		gsumgfsumlem.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
88		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
89	87, 88, 70, 1, 74	gsumval2 13482	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) )
90		1red 8194	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
91		eluzle 9768	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
92	1, 91	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ N )
93	30, 40, 90, 92	lesub2dd 8742	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - N ) <_ ( 1 - M ) )
94	90, 30	resubcld 8560	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. RR )
95	90, 40, 94	lesubadd2d 8724	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - N ) <_ ( 1 - M ) <-> 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) ) )
96	93, 95	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) )
97		eluz2 9761	. . . 4 |- ( ( N + ( 1 - M ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) ) )
98	2, 24, 96, 97	syl3anbrc 1207	. . 3 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
99		fco 5500	. . . 4 |- ( ( F : ( M ... N ) --> B /\ S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) ) -> ( F o. S ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> B )
100	74, 21, 99	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( F o. S ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> B )
101	87, 88, 70, 98, 100	gsumval2 13482	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F o. S ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
102	86, 89, 101	3eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   o. ccom 4729   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   CCcc 8030   RRcr 8031   1c1 8033   + caddc 8035   <_ cle 8215   - cmin 8350   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243   seqcseq 10710   Basecbs 13084   +g cplusg 13162   gsum_g cgsu 13342  CMndccmn 13873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-seqfrec 10711  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-0g 13343  df-igsum 13344

This theorem is referenced by:  gsumgfsum  16705