Theorem gsumgfsum1 16880

Description: On an integer range starting at one, gsum_g and gfsum_gf agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsum1.b	|- B = ( Base ` G )
gsumgfsum1.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumgfsum1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
gsumgfsum1.f	|- ( ph -> F : ( 1 ... N ) --> B )

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsum1	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gfsumgf F ) )

Proof of Theorem gsumgfsum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsum1.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsumgfsum1.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
3		gsumgfsum1.f	. . 3 |- ( ph -> F : ( 1 ... N ) --> B )
4		1zzd 9606	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
5		gsumgfsum1.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	5	nn0zd 9701	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
7	4, 6	fzfigd 10797	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
8		f1oi 5656	. . . 4 |- ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )
9		hashfz1 11150	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
11	10	oveq2d 6068	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) = ( 1 ... N ) )
12	11	f1oeq2d 5612	. . . 4 |- ( ph -> ( ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) <-> ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) ) )
13	8, 12	mpbiri 168	. . 3 |- ( ph -> ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
14	1, 2, 3, 7, 13	gfsumval 16879	. 2 |- ( ph -> ( G gfsumgf F ) = ( G gsumg ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
15		fcoi1 5549	. . . 4 |- ( F : ( 1 ... N ) --> B -> ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) = F )
16	3, 15	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) = F )
17	16	oveq2d 6068	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) = ( G gsumg F ) )
18	14, 17	eqtr2d 2268	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gfsumgf F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _I cid 4411   |` cres 4753   o. ccom 4755   -->wf 5350   -1-1-onto->wf1o 5353   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   1c1 8130   NN0cn0 9498   ...cfz 10345  ♯chash 11142   Basecbs 13229   gsum_g cgsu 13487  CMndccmn 14018   gfsum_gf cgfsu 16877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-inn 9240  df-2 9298  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-ihash 11143  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-igsum 13489  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-cmn 14020  df-gfsum 16878

This theorem is referenced by:  gfsum0  16881