Theorem gsumgfsum1 16854

Description: On an integer range starting at one, gsum_g and gfsum_gf agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsum1.b	|- B = ( Base ` G )
gsumgfsum1.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumgfsum1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
gsumgfsum1.f	|- ( ph -> F : ( 1 ... N ) --> B )

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsum1	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gfsumgf F ) )

Proof of Theorem gsumgfsum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsum1.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsumgfsum1.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
3		gsumgfsum1.f	. . 3 |- ( ph -> F : ( 1 ... N ) --> B )
4		1zzd 9603	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
5		gsumgfsum1.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	5	nn0zd 9697	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
7	4, 6	fzfigd 10792	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
8		f1oi 5653	. . . 4 |- ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )
9		hashfz1 11144	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
11	10	oveq2d 6065	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) = ( 1 ... N ) )
12	11	f1oeq2d 5609	. . . 4 |- ( ph -> ( ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) <-> ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) ) )
13	8, 12	mpbiri 168	. . 3 |- ( ph -> ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
14	1, 2, 3, 7, 13	gfsumval 16853	. 2 |- ( ph -> ( G gfsumgf F ) = ( G gsumg ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
15		fcoi1 5546	. . . 4 |- ( F : ( 1 ... N ) --> B -> ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) = F )
16	3, 15	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) = F )
17	16	oveq2d 6065	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) = ( G gsumg F ) )
18	14, 17	eqtr2d 2266	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gfsumgf F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _I cid 4408   |` cres 4750   o. ccom 4752   -->wf 5347   -1-1-onto->wf1o 5350   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   1c1 8127   NN0cn0 9495   ...cfz 10341  ♯chash 11136   Basecbs 13204   gsum_g cgsu 13462  CMndccmn 13993   gfsum_gf cgfsu 16851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-inn 9237  df-2 9295  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809  df-ihash 11137  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-0g 13463  df-igsum 13464  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-cmn 13995  df-gfsum 16852

This theorem is referenced by:  gfsum0  16855