Theorem gsumgfsum1 16787

Description: On an integer range starting at one, gsum_g and gfsum_gf agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsum1.b	|- B = ( Base ` G )
gsumgfsum1.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumgfsum1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
gsumgfsum1.f	|- ( ph -> F : ( 1 ... N ) --> B )

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsum1	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gfsumgf F ) )

Proof of Theorem gsumgfsum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsum1.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsumgfsum1.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
3		gsumgfsum1.f	. . 3 |- ( ph -> F : ( 1 ... N ) --> B )
4		1zzd 9549	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
5		gsumgfsum1.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	5	nn0zd 9643	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
7	4, 6	fzfigd 10737	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
8		f1oi 5632	. . . 4 |- ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )
9		hashfz1 11089	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
11	10	oveq2d 6044	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) = ( 1 ... N ) )
12	11	f1oeq2d 5588	. . . 4 |- ( ph -> ( ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) <-> ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) ) )
13	8, 12	mpbiri 168	. . 3 |- ( ph -> ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
14	1, 2, 3, 7, 13	gfsumval 16786	. 2 |- ( ph -> ( G gfsumgf F ) = ( G gsumg ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
15		fcoi1 5525	. . . 4 |- ( F : ( 1 ... N ) --> B -> ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) = F )
16	3, 15	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) = F )
17	16	oveq2d 6044	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) = ( G gsumg F ) )
18	14, 17	eqtr2d 2265	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gfsumgf F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   _I cid 4391   |` cres 4733   o. ccom 4735   -->wf 5329   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1c1 8076   NN0cn0 9445   ...cfz 10286  ♯chash 11081   Basecbs 13143   gsum_g cgsu 13401  CMndccmn 13932   gfsum_gf cgfsu 16784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-ihash 11082  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-igsum 13403  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-cmn 13934  df-gfsum 16785

This theorem is referenced by:  gfsum0  16788