Theorem gfsum0 16913

Description: An empty finite group sum is the identity. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
gfsum0	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem gfsum0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		id 19	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ CMnd)
3		0nn0 9516	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 0 ∈ ℕ0)
5		f0 5560	. . . . 5 ⊢ ∅:∅⟶(Base‘𝐺)
6		fz10 10386	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
7	6	feq2i 5504	. . . . 5 ⊢ (∅:(1...0)⟶(Base‘𝐺) ↔ ∅:∅⟶(Base‘𝐺))
8	5, 7	mpbir 146	. . . 4 ⊢ ∅:(1...0)⟶(Base‘𝐺)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → ∅:(1...0)⟶(Base‘𝐺))
10	1, 2, 4, 9	gsumgfsum1 16912	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (𝐺 Σgf ∅))
11		eqid 2234	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	11	gsum0g 13630	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
13	10, 12	eqtr3d 2269	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∅c0 3510  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  0cc0 8132  1c1 8133  ℕ₀cn0 9501  ...cfz 10348  Basecbs 13233  0_gc0g 13490   Σ_g cgsu 13491  CMndccmn 14022   Σ_gf cgfsu 16909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-inn 9243  df-2 9301  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-ihash 11147  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-0g 13492  df-igsum 13493  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-cmn 14024  df-gfsum 16910

This theorem is referenced by:  gsumgfsum  16915  gfsumz  16918  gfsumcl  16919