Theorem gfsum0 16632

Description: An empty finite group sum is the identity. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
gfsum0	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem gfsum0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		id 19	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ CMnd)
3		0nn0 9410	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 0 ∈ ℕ0)
5		f0 5524	. . . . 5 ⊢ ∅:∅⟶(Base‘𝐺)
6		fz10 10274	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
7	6	feq2i 5473	. . . . 5 ⊢ (∅:(1...0)⟶(Base‘𝐺) ↔ ∅:∅⟶(Base‘𝐺))
8	5, 7	mpbir 146	. . . 4 ⊢ ∅:(1...0)⟶(Base‘𝐺)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → ∅:(1...0)⟶(Base‘𝐺))
10	1, 2, 4, 9	gsumgfsum1 16631	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (𝐺 Σgf ∅))
11		eqid 2229	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	11	gsum0g 13472	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
13	10, 12	eqtr3d 2264	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∅c0 3492  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  0cc0 8025  1c1 8026  ℕ₀cn0 9395  ...cfz 10236  Basecbs 13075  0_gc0g 13332   Σ_g cgsu 13333  CMndccmn 13864   Σ_gf cgfsu 16628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-inn 9137  df-2 9195  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-ihash 11031  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-0g 13334  df-igsum 13335  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-cmn 13866  df-gfsum 16629

This theorem is referenced by:  gsumgfsum  16634