Theorem gfsum0 16850

Description: An empty finite group sum is the identity. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
gfsum0	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem gfsum0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		id 19	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ CMnd)
3		0nn0 9507	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 0 ∈ ℕ0)
5		f0 5557	. . . . 5 ⊢ ∅:∅⟶(Base‘𝐺)
6		fz10 10376	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
7	6	feq2i 5501	. . . . 5 ⊢ (∅:(1...0)⟶(Base‘𝐺) ↔ ∅:∅⟶(Base‘𝐺))
8	5, 7	mpbir 146	. . . 4 ⊢ ∅:(1...0)⟶(Base‘𝐺)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → ∅:(1...0)⟶(Base‘𝐺))
10	1, 2, 4, 9	gsumgfsum1 16849	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (𝐺 Σgf ∅))
11		eqid 2232	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	11	gsum0g 13598	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
13	10, 12	eqtr3d 2267	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∅c0 3507  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  0cc0 8123  1c1 8124  ℕ₀cn0 9492  ...cfz 10338  Basecbs 13201  0_gc0g 13458   Σ_g cgsu 13459  CMndccmn 13990   Σ_gf cgfsu 16846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-inn 9234  df-2 9292  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-ihash 11134  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-0g 13460  df-igsum 13461  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-cmn 13992  df-gfsum 16847

This theorem is referenced by:  gsumgfsum  16852  gfsumz  16855  gfsumcl  16856