Theorem gfsumcl 16690

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gfsumcl.b	|- B = ( Base ` G )
gfsumcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gfsumcl.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gfsumcl.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gfsumcl.f	|- ( ph -> F : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
gfsumcl	|- ( ph -> ( G gfsumgf F ) e. B )

Proof of Theorem gfsumcl

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gfsumcl.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> B )
2	1	ffnd 5483	. . . 4 |- ( ph -> F Fn A )
3		fnresdm 5441	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( F |` A ) = F )
5	4	oveq2d 6034	. 2 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` A ) ) = ( G gfsumgf F ) )
6		reseq2 5008	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( F |` w ) = ( F |` (/) ) )
7	6	oveq2d 6034	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) )
8	7	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) e. B ) )
9		reseq2 5008	. . . . 5 |- ( w = y -> ( F |` w ) = ( F |` y ) )
10	9	oveq2d 6034	. . . 4 |- ( w = y -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` y ) ) )
11	10	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = y -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) )
12		reseq2 5008	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
13	12	oveq2d 6034	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
14	13	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. B ) )
15		reseq2 5008	. . . . 5 |- ( w = A -> ( F |` w ) = ( F |` A ) )
16	15	oveq2d 6034	. . . 4 |- ( w = A -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` A ) ) )
17	16	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = A -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` A ) ) e. B ) )
18		res0 5017	. . . . . 6 |- ( F |` (/) ) = (/)
19	18	oveq2i 6029	. . . . 5 |- ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) = ( G gfsumgf (/) )
20		gfsumcl.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. CMnd )
21		gfsum0 16685	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd -> ( G gfsumgf (/) ) = ( 0g ` G ) )
22		gfsumcl.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
23	21, 22	eqtr4di 2282	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> ( G gfsumgf (/) ) = .0. )
24	20, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gfsumgf (/) ) = .0. )
25	19, 24	eqtrid 2276	. . . 4 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) = .0. )
26	20	cmnmndd 13896	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Mnd )
27		gfsumcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
28	27, 22	mndidcl 13514	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
29	26, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. B )
30	25, 29	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) e. B )
31		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
32	20	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. CMnd )
33	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> F : A --> B )
34		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y C_ A )
35		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
36	35	eldifad 3211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
37	36	snssd 3818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } C_ A )
38	34, 37	unssd 3383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
39	33, 38	fssresd 5513	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) : ( y u. { z } ) --> B )
40		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
41	35	eldifbd 3212	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
42	27, 31, 32, 39, 40, 35, 41	gfsump1 16689	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) )
43	42	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) )
44	26	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> G e. Mnd )
45		ssun1 3370	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
46		resabs1 5042	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y )
48	47	oveq2i 6029	. . . . . . 7 |- ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) = ( G gfsumgf ( F |` y ) )
49		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B )
50	48, 49	eqeltrid 2318	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) e. B )
51		ssun2 3371	. . . . . . . . . 10 |- { z } C_ ( y u. { z } )
52		vsnid 3701	. . . . . . . . . 10 |- z e. { z }
53	51, 52	sselii 3224	. . . . . . . . 9 |- z e. ( y u. { z } )
54	53	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( y u. { z } ) )
55	39, 54	ffvelcdmd 5783	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. B )
56	55	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. B )
57	27, 31	mndcl 13507	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) e. B /\ ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. B ) -> ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) e. B )
58	44, 50, 56, 57	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) e. B )
59	43, 58	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. B )
60	59	ex 115	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. B ) )
61		gfsumcl.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
62	8, 11, 14, 17, 30, 60, 61	findcard2sd 7081	. 2 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` A ) ) e. B )
63	5, 62	eqeltrrd 2309	1 |- ( ph -> ( G gfsumgf F ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   \ cdif 3197   u. cun 3198   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   |` cres 4727   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   Basecbs 13083   +g cplusg 13161   0gc0g 13340   Mndcmnd 13500  CMndccmn 13872   gfsum_gf cgfsu 16681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10710  df-ihash 11038  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-base 13089  df-plusg 13174  df-0g 13342  df-igsum 13343  df-mgm 13440  df-sgrp 13486  df-mnd 13501  df-minusg 13588  df-mulg 13708  df-cmn 13874  df-gfsum 16682

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