Theorem gfsumcl 16816

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gfsumcl.b	|- B = ( Base ` G )
gfsumcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gfsumcl.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gfsumcl.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gfsumcl.f	|- ( ph -> F : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
gfsumcl	|- ( ph -> ( G gfsumgf F ) e. B )

Proof of Theorem gfsumcl

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gfsumcl.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> B )
2	1	ffnd 5490	. . . 4 |- ( ph -> F Fn A )
3		fnresdm 5448	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( F |` A ) = F )
5	4	oveq2d 6044	. 2 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` A ) ) = ( G gfsumgf F ) )
6		reseq2 5014	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( F |` w ) = ( F |` (/) ) )
7	6	oveq2d 6044	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) )
8	7	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) e. B ) )
9		reseq2 5014	. . . . 5 |- ( w = y -> ( F |` w ) = ( F |` y ) )
10	9	oveq2d 6044	. . . 4 |- ( w = y -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` y ) ) )
11	10	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = y -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) )
12		reseq2 5014	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
13	12	oveq2d 6044	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
14	13	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. B ) )
15		reseq2 5014	. . . . 5 |- ( w = A -> ( F |` w ) = ( F |` A ) )
16	15	oveq2d 6044	. . . 4 |- ( w = A -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` A ) ) )
17	16	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = A -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` A ) ) e. B ) )
18		res0 5023	. . . . . 6 |- ( F |` (/) ) = (/)
19	18	oveq2i 6039	. . . . 5 |- ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) = ( G gfsumgf (/) )
20		gfsumcl.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. CMnd )
21		gfsum0 16811	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd -> ( G gfsumgf (/) ) = ( 0g ` G ) )
22		gfsumcl.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
23	21, 22	eqtr4di 2282	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> ( G gfsumgf (/) ) = .0. )
24	20, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gfsumgf (/) ) = .0. )
25	19, 24	eqtrid 2276	. . . 4 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) = .0. )
26	20	cmnmndd 13975	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Mnd )
27		gfsumcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
28	27, 22	mndidcl 13593	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
29	26, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. B )
30	25, 29	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) e. B )
31		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
32	20	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. CMnd )
33	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> F : A --> B )
34		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y C_ A )
35		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
36	35	eldifad 3212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
37	36	snssd 3823	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } C_ A )
38	34, 37	unssd 3385	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
39	33, 38	fssresd 5521	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) : ( y u. { z } ) --> B )
40		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
41	35	eldifbd 3213	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
42	27, 31, 32, 39, 40, 35, 41	gfsump1 16815	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) )
43	42	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) )
44	26	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> G e. Mnd )
45		ssun1 3372	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
46		resabs1 5048	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y )
48	47	oveq2i 6039	. . . . . . 7 |- ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) = ( G gfsumgf ( F |` y ) )
49		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B )
50	48, 49	eqeltrid 2318	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) e. B )
51		ssun2 3373	. . . . . . . . . 10 |- { z } C_ ( y u. { z } )
52		vsnid 3705	. . . . . . . . . 10 |- z e. { z }
53	51, 52	sselii 3225	. . . . . . . . 9 |- z e. ( y u. { z } )
54	53	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( y u. { z } ) )
55	39, 54	ffvelcdmd 5791	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. B )
56	55	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. B )
57	27, 31	mndcl 13586	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) e. B /\ ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. B ) -> ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) e. B )
58	44, 50, 56, 57	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) e. B )
59	43, 58	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. B )
60	59	ex 115	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. B ) )
61		gfsumcl.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
62	8, 11, 14, 17, 30, 60, 61	findcard2sd 7124	. 2 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` A ) ) e. B )
63	5, 62	eqeltrrd 2309	1 |- ( ph -> ( G gfsumgf F ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   \ cdif 3198   u. cun 3199   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   |` cres 4733   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   0gc0g 13419   Mndcmnd 13579  CMndccmn 13951   gfsum_gf cgfsu 16807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-ihash 11101  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-igsum 13422  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-minusg 13667  df-mulg 13787  df-cmn 13953  df-gfsum 16808

This theorem is referenced by: (None)