Theorem gfsumcl 14110

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gfsumcl.b	|- B = ( Base ` G )
gfsumcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gfsumcl.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gfsumcl.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gfsumcl.f	|- ( ph -> F : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
gfsumcl	|- ( ph -> ( G gfsumgf F ) e. B )

Proof of Theorem gfsumcl

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gfsumcl.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> B )
2	1	ffnd 5514	. . . 4 |- ( ph -> F Fn A )
3		fnresdm 5472	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( F |` A ) = F )
5	4	oveq2d 6074	. 2 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` A ) ) = ( G gfsumgf F ) )
6		reseq2 5038	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( F |` w ) = ( F |` (/) ) )
7	6	oveq2d 6074	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) )
8	7	eleq1d 2303	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) e. B ) )
9		reseq2 5038	. . . . 5 |- ( w = y -> ( F |` w ) = ( F |` y ) )
10	9	oveq2d 6074	. . . 4 |- ( w = y -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` y ) ) )
11	10	eleq1d 2303	. . 3 |- ( w = y -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) )
12		reseq2 5038	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
13	12	oveq2d 6074	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
14	13	eleq1d 2303	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. B ) )
15		reseq2 5038	. . . . 5 |- ( w = A -> ( F |` w ) = ( F |` A ) )
16	15	oveq2d 6074	. . . 4 |- ( w = A -> ( G gfsumgf ( F |` w ) ) = ( G gfsumgf ( F |` A ) ) )
17	16	eleq1d 2303	. . 3 |- ( w = A -> ( ( G gfsumgf ( F |` w ) ) e. B <-> ( G gfsumgf ( F |` A ) ) e. B ) )
18		res0 5047	. . . . . 6 |- ( F |` (/) ) = (/)
19	18	oveq2i 6069	. . . . 5 |- ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) = ( G gfsumgf (/) )
20		gfsumcl.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. CMnd )
21		gfsum0 14104	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd -> ( G gfsumgf (/) ) = ( 0g ` G ) )
22		gfsumcl.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
23	21, 22	eqtr4di 2285	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> ( G gfsumgf (/) ) = .0. )
24	20, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gfsumgf (/) ) = .0. )
25	19, 24	eqtrid 2279	. . . 4 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) = .0. )
26	20	cmnmndd 14061	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Mnd )
27		gfsumcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
28	27, 22	mndidcl 13691	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
29	26, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. B )
30	25, 29	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` (/) ) ) e. B )
31		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
32	20	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. CMnd )
33	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> F : A --> B )
34		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y C_ A )
35		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
36	35	eldifad 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
37	36	snssd 3844	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } C_ A )
38	34, 37	unssd 3399	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
39	33, 38	fssresd 5546	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) : ( y u. { z } ) --> B )
40		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
41	35	eldifbd 3226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
42	27, 31, 32, 39, 40, 35, 41	gfsump1 14108	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) )
43	42	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) )
44	26	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> G e. Mnd )
45		ssun1 3386	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
46		resabs1 5072	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y )
48	47	oveq2i 6069	. . . . . . 7 |- ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) = ( G gfsumgf ( F |` y ) )
49		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B )
50	48, 49	eqeltrid 2321	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) e. B )
51		ssun2 3387	. . . . . . . . . 10 |- { z } C_ ( y u. { z } )
52		vsnid 3726	. . . . . . . . . 10 |- z e. { z }
53	51, 52	sselii 3239	. . . . . . . . 9 |- z e. ( y u. { z } )
54	53	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( y u. { z } ) )
55	39, 54	ffvelcdmd 5818	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. B )
56	55	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. B )
57	27, 31	mndcl 13684	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) e. B /\ ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. B ) -> ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) e. B )
58	44, 50, 56, 57	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( ( G gfsumgf ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) e. B )
59	43, 58	eqeltrd 2311	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B ) -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. B )
60	59	ex 115	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gfsumgf ( F |` y ) ) e. B -> ( G gfsumgf ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. B ) )
61		gfsumcl.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
62	8, 11, 14, 17, 30, 60, 61	findcard2sd 7162	. 2 |- ( ph -> ( G gfsumgf ( F |` A ) ) e. B )
63	5, 62	eqeltrrd 2312	1 |- ( ph -> ( G gfsumgf F ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   \ cdif 3211   u. cun 3212   C_ wss 3214   (/)c0 3512   {csn 3694   |` cres 4756   Fn wfn 5352   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   Mndcmnd 13677  CMndccmn 14037   gfsum_gf cgfsu 14100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-ihash 11164  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-igsum 13556  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-minusg 13759  df-mulg 13873  df-cmn 14039  df-gfsum 14101

This theorem is referenced by: (None)