Theorem halfleoddlt 12078

Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
halfleoddlt	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) )

Proof of Theorem halfleoddlt

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12057	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		0xr 8092	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR*
3		1re 8044	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
4	3	rexri 8103	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR*
5		halfre 9223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR
6	5	rexri 8103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR*
7	2, 4, 6	3pm3.2i 1177	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( 1 / 2 ) e. RR* )
8		halfgt0 9225	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( 1 / 2 )
9		halflt1 9227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) < 1
10	8, 9	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 )
11		elioo3g 10004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( 1 / 2 ) e. RR* ) /\ ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) )
12	7, 10, 11	mpbir2an 944	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 )
13		zltaddlt1le 10101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
14	12, 13	mp3an3 1337	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
15		zcn 9350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n e. CC )
17		1cnd 8061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> 1 e. CC )
18		2cn 9080	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
19		2ap0 9102	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
20	18, 19	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
22		muldivdirap 8753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
23	16, 17, 21, 22	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
24	23	breq1d 4044	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) < M ) )
25	23	breq1d 4044	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
26	14, 24, 25	3bitr4rd 221	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M ) )
27		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
28	27	breq1d 4044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) <_ M ) )
29	27	breq1d 4044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M <-> ( N / 2 ) < M ) )
30	28, 29	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M ) <-> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) )
31	26, 30	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) )
32	31	ex 115	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
33	32	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
34	33	com23 78	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
35	34	rexlimdva 2614	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
36	1, 35	sylbid 150	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
37	36	3imp 1195	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   CCcc 7896   0cc0 7898   1c1 7899   + caddc 7901   x. cmul 7903   RR*cxr 8079   < clt 8080   <_ cle 8081   # cap 8627   / cdiv 8718   2c2 9060   ZZcz 9345   (,)cioo 9982   || cdvds 11971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-n0 9269  df-z 9346  df-rp 9748  df-ioo 9986  df-dvds 11972

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  15407