ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  halfleoddlt Unicode version

Theorem halfleoddlt 11602
Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
halfleoddlt  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( N  / 
2 )  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <  M ) )

Proof of Theorem halfleoddlt
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 11581 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
2 0xr 7824 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
3 1re 7777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
43rexri 7835 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR*
5 halfre 8945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
65rexri 7835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e. 
RR*
72, 4, 63pm3.2i 1159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  ( 1  /  2 )  e. 
RR* )
8 halfgt0 8947 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 1  /  2
)
9 halflt1 8949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  <  1
108, 9pm3.2i 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <  ( 1  / 
2 )  /\  (
1  /  2 )  <  1 )
11 elioo3g 9705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  ( 1  /  2 )  e. 
RR* )  /\  (
0  <  ( 1  /  2 )  /\  ( 1  /  2
)  <  1 ) ) )
127, 10, 11mpbir2an 926 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1
)
13 zltaddlt1le 9801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  (
1  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 ) )  -> 
( ( n  +  ( 1  /  2
) )  <  M  <->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <_  M ) )
1412, 13mp3an3 1304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  <  M  <->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <_  M ) )
15 zcn 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
1615adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
17 1cnd 7794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
18 2cn 8803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
19 2ap0 8825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2 #  0
2018, 19pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
2120a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )
22 muldivdirap 8479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2
)  =  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) )
2316, 17, 21, 22syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2
)  =  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) )
2423breq1d 3939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <  M  <->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <  M ) )
2523breq1d 3939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <_  M  <->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <_  M ) )
2614, 24, 253bitr4rd 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <_  M  <->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  <  M ) )
27 oveq1 5781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
2827breq1d 3939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2
)  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <_  M ) )
2927breq1d 3939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2
)  <  M  <->  ( N  /  2 )  < 
M ) )
3028, 29bibi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <_  M  <->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  <  M )  <->  ( ( N  /  2 )  <_  M 
<->  ( N  /  2
)  <  M )
) )
3126, 30syl5ibcom 154 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( ( N  /  2 )  <_  M 
<->  ( N  /  2
)  <  M )
) )
3231ex 114 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  -> 
( ( N  / 
2 )  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <  M ) ) ) )
3332adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( ( N  /  2 )  <_  M 
<->  ( N  /  2
)  <  M )
) ) )
3433com23 78 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( N  /  2 )  <_  M 
<->  ( N  /  2
)  <  M )
) ) )
3534rexlimdva 2549 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( ( N  / 
2 )  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <  M ) ) ) )
361, 35sylbid 149 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( ( N  / 
2 )  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <  M ) ) ) )
37363imp 1175 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( N  / 
2 )  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7630   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    x. cmul 7637   RR*cxr 7811    < clt 7812    <_ cle 7813   # cap 8355    / cdiv 8444   2c2 8783   ZZcz 9066   (,)cioo 9683    || cdvds 11504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-n0 8990  df-z 9067  df-rp 9454  df-ioo 9687  df-dvds 11505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator