Theorem halfleoddlt 12320

Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
halfleoddlt	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) )

Proof of Theorem halfleoddlt

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12299	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		0xr 8154	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR*
3		1re 8106	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
4	3	rexri 8165	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR*
5		halfre 9285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR
6	5	rexri 8165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR*
7	2, 4, 6	3pm3.2i 1178	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( 1 / 2 ) e. RR* )
8		halfgt0 9287	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( 1 / 2 )
9		halflt1 9289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) < 1
10	8, 9	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 )
11		elioo3g 10067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( 1 / 2 ) e. RR* ) /\ ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) )
12	7, 10, 11	mpbir2an 945	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 )
13		zltaddlt1le 10164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
14	12, 13	mp3an3 1339	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
15		zcn 9412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n e. CC )
17		1cnd 8123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> 1 e. CC )
18		2cn 9142	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
19		2ap0 9164	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
20	18, 19	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
22		muldivdirap 8815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
23	16, 17, 21, 22	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
24	23	breq1d 4069	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) < M ) )
25	23	breq1d 4069	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
26	14, 24, 25	3bitr4rd 221	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M ) )
27		oveq1 5974	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
28	27	breq1d 4069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) <_ M ) )
29	27	breq1d 4069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M <-> ( N / 2 ) < M ) )
30	28, 29	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M ) <-> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) )
31	26, 30	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) )
32	31	ex 115	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
33	32	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
34	33	com23 78	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
35	34	rexlimdva 2625	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
36	1, 35	sylbid 150	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
37	36	3imp 1196	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   RR*cxr 8141   < clt 8142   <_ cle 8143   # cap 8689   / cdiv 8780   2c2 9122   ZZcz 9407   (,)cioo 10045   || cdvds 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-rp 9811  df-ioo 10049  df-dvds 12214

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  15650