ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  halfleoddlt Unicode version

Theorem halfleoddlt 11233
Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
halfleoddlt  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( N  / 
2 )  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <  M ) )

Proof of Theorem halfleoddlt
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 11212 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
2 0xr 7595 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
3 1re 7548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
43rexri 7606 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR*
5 halfre 8690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
65rexri 7606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e. 
RR*
72, 4, 63pm3.2i 1122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  ( 1  /  2 )  e. 
RR* )
8 halfgt0 8692 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 1  /  2
)
9 halflt1 8694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  <  1
108, 9pm3.2i 267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <  ( 1  / 
2 )  /\  (
1  /  2 )  <  1 )
11 elioo3g 9389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  ( 1  /  2 )  e. 
RR* )  /\  (
0  <  ( 1  /  2 )  /\  ( 1  /  2
)  <  1 ) ) )
127, 10, 11mpbir2an 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1
)
13 zltaddlt1le 9484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  (
1  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 ) )  -> 
( ( n  +  ( 1  /  2
) )  <  M  <->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <_  M ) )
1412, 13mp3an3 1263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  <  M  <->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <_  M ) )
15 zcn 8816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
1615adantr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
17 1cnd 7565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
18 2cn 8554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
19 2ap0 8576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2 #  0
2018, 19pm3.2i 267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
2120a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )
22 muldivdirap 8235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2
)  =  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) )
2316, 17, 21, 22syl3anc 1175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2
)  =  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) )
2423breq1d 3861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <  M  <->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <  M ) )
2523breq1d 3861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <_  M  <->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <_  M ) )
2614, 24, 253bitr4rd 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <_  M  <->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  <  M ) )
27 oveq1 5673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
2827breq1d 3861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2
)  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <_  M ) )
2927breq1d 3861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2
)  <  M  <->  ( N  /  2 )  < 
M ) )
3028, 29bibi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <_  M  <->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  <  M )  <->  ( ( N  /  2 )  <_  M 
<->  ( N  /  2
)  <  M )
) )
3126, 30syl5ibcom 154 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( ( N  /  2 )  <_  M 
<->  ( N  /  2
)  <  M )
) )
3231ex 114 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  -> 
( ( N  / 
2 )  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <  M ) ) ) )
3332adantl 272 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( ( N  /  2 )  <_  M 
<->  ( N  /  2
)  <  M )
) ) )
3433com23 78 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( N  /  2 )  <_  M 
<->  ( N  /  2
)  <  M )
) ) )
3534rexlimdva 2490 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( ( N  / 
2 )  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <  M ) ) ) )
361, 35sylbid 149 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( ( N  / 
2 )  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <  M ) ) ) )
37363imp 1138 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( N  / 
2 )  <_  M  <->  ( N  /  2 )  <  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 925    = wceq 1290    e. wcel 1439   E.wrex 2361   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   CCcc 7409   0cc0 7411   1c1 7412    + caddc 7414    x. cmul 7416   RR*cxr 7582    < clt 7583    <_ cle 7584   # cap 8119    / cdiv 8200   2c2 8534   ZZcz 8811   (,)cioo 9367    || cdvds 11135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-xor 1313  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-n0 8735  df-z 8812  df-rp 9196  df-ioo 9371  df-dvds 11136
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator