Theorem halfleoddlt 11627

Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
halfleoddlt	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) )

Proof of Theorem halfleoddlt

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 11606	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		0xr 7836	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR*
3		1re 7789	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
4	3	rexri 7847	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR*
5		halfre 8957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR
6	5	rexri 7847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR*
7	2, 4, 6	3pm3.2i 1160	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( 1 / 2 ) e. RR* )
8		halfgt0 8959	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( 1 / 2 )
9		halflt1 8961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) < 1
10	8, 9	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 )
11		elioo3g 9723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( 1 / 2 ) e. RR* ) /\ ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) )
12	7, 10, 11	mpbir2an 927	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 )
13		zltaddlt1le 9820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
14	12, 13	mp3an3 1305	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
15		zcn 9083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
16	15	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n e. CC )
17		1cnd 7806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> 1 e. CC )
18		2cn 8815	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
19		2ap0 8837	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
20	18, 19	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
22		muldivdirap 8491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
23	16, 17, 21, 22	syl3anc 1217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
24	23	breq1d 3947	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) < M ) )
25	23	breq1d 3947	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
26	14, 24, 25	3bitr4rd 220	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M ) )
27		oveq1 5789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
28	27	breq1d 3947	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) <_ M ) )
29	27	breq1d 3947	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M <-> ( N / 2 ) < M ) )
30	28, 29	bibi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M ) <-> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) )
31	26, 30	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) )
32	31	ex 114	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
33	32	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
34	33	com23 78	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
35	34	rexlimdva 2552	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
36	1, 35	sylbid 149	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
37	36	3imp 1176	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   RR*cxr 7823   < clt 7824   <_ cle 7825   # cap 8367   / cdiv 8456   2c2 8795   ZZcz 9078   (,)cioo 9701   || cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-xor 1355  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-rp 9471  df-ioo 9705  df-dvds 11530

This theorem is referenced by: (None)