Theorem halfleoddlt 11918

Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
halfleoddlt	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) )

Proof of Theorem halfleoddlt

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 11897	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		0xr 8023	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR*
3		1re 7975	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
4	3	rexri 8034	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR*
5		halfre 9151	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR
6	5	rexri 8034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR*
7	2, 4, 6	3pm3.2i 1177	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( 1 / 2 ) e. RR* )
8		halfgt0 9153	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( 1 / 2 )
9		halflt1 9155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) < 1
10	8, 9	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 )
11		elioo3g 9929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( 1 / 2 ) e. RR* ) /\ ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) )
12	7, 10, 11	mpbir2an 944	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 )
13		zltaddlt1le 10026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( 1 / 2 ) e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
14	12, 13	mp3an3 1337	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
15		zcn 9277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n e. CC )
17		1cnd 7992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> 1 e. CC )
18		2cn 9009	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
19		2ap0 9031	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
20	18, 19	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
22		muldivdirap 8683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
23	16, 17, 21, 22	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
24	23	breq1d 4028	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) < M ) )
25	23	breq1d 4028	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( n + ( 1 / 2 ) ) <_ M ) )
26	14, 24, 25	3bitr4rd 221	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M ) )
27		oveq1 5898	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
28	27	breq1d 4028	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) <_ M ) )
29	27	breq1d 4028	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M <-> ( N / 2 ) < M ) )
30	28, 29	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <_ M <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) < M ) <-> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) )
31	26, 30	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) )
32	31	ex 115	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
33	32	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
34	33	com23 78	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
35	34	rexlimdva 2607	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
36	1, 35	sylbid 150	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( M e. ZZ -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) ) ) )
37	36	3imp 1195	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) <_ M <-> ( N / 2 ) < M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   E.wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   CCcc 7828   0cc0 7830   1c1 7831   + caddc 7833   x. cmul 7835   RR*cxr 8010   < clt 8011   <_ cle 8012   # cap 8557   / cdiv 8648   2c2 8989   ZZcz 9272   (,)cioo 9907   || cdvds 11813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-rp 9673  df-ioo 9911  df-dvds 11814

This theorem is referenced by: (None)