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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > opoe | Unicode version |
Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.) |
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opoe |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | odd2np1 11892 |
. . . . 5
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2 | odd2np1 11892 |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | bi2anan9 606 |
. . . 4
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4 | reeanv 2657 |
. . . . 5
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5 | 2z 9295 |
. . . . . . . . 9
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6 | zaddcl 9307 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | peano2zd 9392 |
. . . . . . . . 9
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8 | dvdsmul1 11834 |
. . . . . . . . 9
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9 | 5, 7, 8 | sylancr 414 |
. . . . . . . 8
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10 | zcn 9272 |
. . . . . . . . 9
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11 | zcn 9272 |
. . . . . . . . 9
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12 | addcl 7950 |
. . . . . . . . . . . . 13
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13 | 2cn 9004 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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14 | ax-1cn 7918 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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15 | adddi 7957 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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16 | 13, 14, 15 | mp3an13 1338 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 12, 16 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | adddi 7957 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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19 | 13, 18 | mp3an1 1334 |
. . . . . . . . . . . . 13
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20 | 19 | oveq1d 5903 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | 17, 20 | eqtrd 2220 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 2t1e2 9086 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | df-2 8992 |
. . . . . . . . . . . . 13
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24 | 22, 23 | eqtri 2208 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 24 | oveq2i 5899 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 21, 25 | eqtrdi 2236 |
. . . . . . . . . 10
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27 | mulcl 7952 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 13, 27 | mpan 424 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | mulcl 7952 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 13, 29 | mpan 424 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | add4 8132 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | 14, 14, 31 | mpanr12 439 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 28, 30, 32 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 26, 33 | eqtrd 2220 |
. . . . . . . . 9
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35 | 10, 11, 34 | syl2an 289 |
. . . . . . . 8
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36 | 9, 35 | breqtrd 4041 |
. . . . . . 7
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37 | oveq12 5897 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | breq2d 4027 |
. . . . . . 7
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39 | 36, 38 | syl5ibcom 155 |
. . . . . 6
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40 | 39 | rexlimivv 2610 |
. . . . 5
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41 | 4, 40 | sylbir 135 |
. . . 4
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42 | 3, 41 | biimtrdi 163 |
. . 3
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43 | 42 | imp 124 |
. 2
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44 | 43 | an4s 588 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-cnex 7916 ax-resscn 7917 ax-1cn 7918 ax-1re 7919 ax-icn 7920 ax-addcl 7921 ax-addrcl 7922 ax-mulcl 7923 ax-mulrcl 7924 ax-addcom 7925 ax-mulcom 7926 ax-addass 7927 ax-mulass 7928 ax-distr 7929 ax-i2m1 7930 ax-0lt1 7931 ax-1rid 7932 ax-0id 7933 ax-rnegex 7934 ax-precex 7935 ax-cnre 7936 ax-pre-ltirr 7937 ax-pre-ltwlin 7938 ax-pre-lttrn 7939 ax-pre-apti 7940 ax-pre-ltadd 7941 ax-pre-mulgt0 7942 ax-pre-mulext 7943 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-xor 1386 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-br 4016 df-opab 4077 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-pnf 8008 df-mnf 8009 df-xr 8010 df-ltxr 8011 df-le 8012 df-sub 8144 df-neg 8145 df-reap 8546 df-ap 8553 df-div 8644 df-inn 8934 df-2 8992 df-n0 9191 df-z 9268 df-dvds 11809 |
This theorem is referenced by: pythagtriplem11 12288 |
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