ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  halfleoddlt GIF version

Theorem halfleoddlt 11864
Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
halfleoddlt ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))

Proof of Theorem halfleoddlt
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 11843 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2 0xr 7978 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
3 1re 7931 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
43rexri 7989 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ*
5 halfre 9103 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
65rexri 7989 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ*
72, 4, 63pm3.2i 1175 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*)
8 halfgt0 9105 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
9 halflt1 9107 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) < 1
108, 9pm3.2i 272 . . . . . . . . . . 11 (0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
11 elioo3g 9879 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
127, 10, 11mpbir2an 942 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ (0(,)1)
13 zltaddlt1le 9976 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ (0(,)1)) → ((𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
1412, 13mp3an3 1326 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
15 zcn 9229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
1615adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
17 1cnd 7948 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
18 2cn 8961 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
19 2ap0 8983 . . . . . . . . . . . . 13 2 # 0
2018, 19pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
2120a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
22 muldivdirap 8636 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
2316, 17, 21, 22syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
2423breq1d 4008 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀))
2523breq1d 4008 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
2614, 24, 253bitr4rd 221 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀))
27 oveq1 5872 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
2827breq1d 4008 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) ≤ 𝑀))
2927breq1d 4008 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))
3028, 29bibi12d 235 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀) ↔ ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀)))
3126, 30syl5ibcom 155 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀)))
3231ex 115 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
3332adantl 277 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
3433com23 78 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
3534rexlimdva 2592 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
361, 35sylbid 150 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
37363imp 1193 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2146  wrex 2454   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  cc 7784  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791  *cxr 7965   < clt 7966  cle 7967   # cap 8512   / cdiv 8601  2c2 8941  cz 9224  (,)cioo 9857  cdvds 11760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-n0 9148  df-z 9225  df-rp 9623  df-ioo 9861  df-dvds 11761
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator