Theorem halfleoddlt 12454

Description: An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
halfleoddlt	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))

Proof of Theorem halfleoddlt

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12433	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2		0xr 8225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		1re 8177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	rexri 8236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ*
5		halfre 9356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
6	5	rexri 8236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ*
7	2, 4, 6	3pm3.2i 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*)
8		halfgt0 9358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (1 / 2)
9		halflt1 9360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) < 1
10	8, 9	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
11		elioo3g 10144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
12	7, 10, 11	mpbir2an 950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ (0(,)1)
13		zltaddlt1le 10241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ (0(,)1)) → ((𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
14	12, 13	mp3an3 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
15		zcn 9483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
17		1cnd 8194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
18		2cn 9213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
19		2ap0 9235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 # 0
20	18, 19	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
22		muldivdirap 8886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
23	16, 17, 21, 22	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
24	23	breq1d 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) < 𝑀))
25	23	breq1d 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑛 + (1 / 2)) ≤ 𝑀))
26	14, 24, 25	3bitr4rd 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀))
27		oveq1 6024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
28	27	breq1d 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) ≤ 𝑀))
29	27	breq1d 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))
30	28, 29	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((((2 · 𝑛) + 1) / 2) ≤ 𝑀 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) / 2) < 𝑀) ↔ ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀)))
31	26, 30	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀)))
32	31	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
33	32	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
34	33	com23 78	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
35	34	rexlimdva 2650	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
36	1, 35	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))))
37	36	3imp 1219	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 / 2) < 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036  ℝ^*cxr 8212   < clt 8213   ≤ cle 8214   # cap 8760   / cdiv 8851  2c2 9193  ℤcz 9478  (,)cioo 10122   ∥ cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-rp 9888  df-ioo 10126  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  15786