Theorem hashprg 10049

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 497	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		snfig 6459	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
3	2	ad2antrr 472	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴} ∈ Fin)
4		elsni 3440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
5	4	eqcomd 2088	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
6	5	necon3ai 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
7	6	adantl 271	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
8		hashunsng 10048	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1)))
9	8	imp 122	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
10	1, 3, 7, 9	syl12anc 1168	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
11		hashsng 10039	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)
12	11	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴}) = 1)
13	12	adantr 270	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴}) = 1)
14	13	oveq1d 5604	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((♯‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
15	10, 14	eqtrd 2115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
16		df-pr 3429	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
17	16	fveq2i 5254	. . 3 ⊢ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
18		df-2 8373	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
19	15, 17, 18	3eqtr4g 2140	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
20		1ne2 8513	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
21	20	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 1 ≠ 2)
22	12, 21	eqnetrd 2273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴}) ≠ 2)
23		dfsn2 3436	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
24		preq2 3494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
25	23, 24	syl5req 2128	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
26	25	fveq2d 5255	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴}))
27	26	neeq1d 2267	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (♯‘{𝐴}) ≠ 2))
28	22, 27	syl5ibrcom 155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
29	28	necon2d 2308	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴 ≠ 𝐵))
30	29	imp 122	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴 ≠ 𝐵)
31	19, 30	impbida 561	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   ≠ wne 2249   ∪ cun 2982  {csn 3422  {cpr 3423  ‘cfv 4967  (class class class)co 5589  Fincfn 6385  1c1 7252   + caddc 7254  2c2 8364  ♯chash 10016

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-addcom 7346  ax-addass 7348  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-irdg 6065  df-frec 6086  df-1o 6111  df-oadd 6115  df-er 6220  df-en 6386  df-dom 6387  df-fin 6388  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-inn 8315  df-2 8373  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-fz 9318  df-ihash 10017

This theorem is referenced by:  prhash2ex  10050  fiprsshashgt1  10058