ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashprg GIF version

Theorem hashprg 10547
Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashprg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprg
StepHypRef Expression
1 simplr 519 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑊)
2 snfig 6701 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
32ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴} ∈ Fin)
4 elsni 3540 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
54eqcomd 2143 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
65necon3ai 2355 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
76adantl 275 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
8 hashunsng 10546 . . . . . 6 (𝐵𝑊 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1)))
98imp 123 . . . . 5 ((𝐵𝑊 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
101, 3, 7, 9syl12anc 1214 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
11 hashsng 10537 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)
1211adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘{𝐴}) = 1)
1312adantr 274 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴}) = 1)
1413oveq1d 5782 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → ((♯‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
1510, 14eqtrd 2170 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
16 df-pr 3529 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
1716fveq2i 5417 . . 3 (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
18 df-2 8772 . . 3 2 = (1 + 1)
1915, 17, 183eqtr4g 2195 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
20 1ne2 8919 . . . . . . 7 1 ≠ 2
2120a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 1 ≠ 2)
2212, 21eqnetrd 2330 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘{𝐴}) ≠ 2)
23 dfsn2 3536 . . . . . . . 8 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
24 preq2 3596 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
2523, 24syl5req 2183 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2625fveq2d 5418 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴}))
2726neeq1d 2324 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (♯‘{𝐴}) ≠ 2))
2822, 27syl5ibrcom 156 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
2928necon2d 2365 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴𝐵))
3029imp 123 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴𝐵)
3119, 30impbida 585 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2306  cun 3064  {csn 3522  {cpr 3523  cfv 5118  (class class class)co 5767  Fincfn 6627  1c1 7614   + caddc 7616  2c2 8764  chash 10514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-ihash 10515
This theorem is referenced by:  prhash2ex  10548  fiprsshashgt1  10556
  Copyright terms: Public domain W3C validator