Theorem hashprg 11232

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		snfig 7097	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
3	2	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴} ∈ Fin)
4		elsni 3726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
5	4	eqcomd 2244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
6	5	necon3ai 2469	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
7	6	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
8		hashunsng 11231	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1)))
9	8	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
10	1, 3, 7, 9	syl12anc 1276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
11		hashsng 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴}) = 1)
13	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴}) = 1)
14	13	oveq1d 6094	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((♯‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
15	10, 14	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
16		df-pr 3715	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
17	16	fveq2i 5696	. . 3 ⊢ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
18		df-2 9346	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
19	15, 17, 18	3eqtr4g 2296	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
20		1ne2 9494	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
21	20	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 1 ≠ 2)
22	12, 21	eqnetrd 2444	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴}) ≠ 2)
23		dfsn2 3722	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
24		preq2 3788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
25	23, 24	eqtr2id 2284	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
26	25	fveq2d 5697	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴}))
27	26	neeq1d 2438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (♯‘{𝐴}) ≠ 2))
28	22, 27	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
29	28	necon2d 2479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴 ≠ 𝐵))
30	29	imp 124	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴 ≠ 𝐵)
31	19, 30	impbida 604	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∪ cun 3218  {csn 3708  {cpr 3709  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Fincfn 7016  1c1 8174   + caddc 8176  2c2 9338  ♯chash 11197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-ihash 11198

This theorem is referenced by:  prhash2ex  11233  fiprsshashgt1  11241  hashtpgim  11280  hashtpglem  11281  eulerpathprum  16704