Theorem iprodap 11580

Description: Series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprod.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zprod.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zproddc.3	|- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) )
iprod.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
iprod.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
iprodap	|- ( ph -> prod_ k e. Z B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )

Distinct variable groups:   B, n, y   k, F   k, M, n, y   k, Z, n, y   ph, k, n, y

Allowed substitution hints:   B( k)   F( y, n)

Proof of Theorem iprodap

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprod.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		zprod.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		zproddc.3	. 2 |- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) )
4		ssidd 3176	. 2 |- ( ph -> Z C_ Z )
5		orc 712	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( j e. Z \/ -. j e. Z ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j e. Z \/ -. j e. Z ) )
7		df-dc 835	. . . 4 |- (DECID j e. Z <-> ( j e. Z \/ -. j e. Z ) )
8	6, 7	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> DECID j e. Z )
9	8	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. Z )
10		iprod.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
11		iftrue 3539	. . . 4 |- ( k e. Z -> if ( k e. Z , B , 1 ) = B )
12	11	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. Z , B , 1 ) = B )
13	10, 12	eqtr4d 2213	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Z , B , 1 ) )
14		iprod.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
15	1, 2, 3, 4, 9, 13, 14	zproddc 11579	1 |- ( ph -> prod_ k e. Z B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   E.wrex 2456   ifcif 3534   class class class wbr 4002   ` cfv 5214   CCcc 7805   0cc0 7807   1c1 7808   x. cmul 7812   # cap 8533   ZZcz 9248   ZZ>=cuz 9523   seqcseq 10439   ~~> cli 11278   prod_cprod 11550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-isom 5223  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-irdg 6367  df-frec 6388  df-1o 6413  df-oadd 6417  df-er 6531  df-en 6737  df-dom 6738  df-fin 6739  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-rp 9649  df-fz 10004  df-fzo 10137  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-ihash 10748  df-cj 10843  df-rsqrt 10999  df-abs 11000  df-clim 11279  df-proddc 11551

This theorem is referenced by: (None)