Theorem iprodap 11470

Description: Series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprod.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zprod.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zproddc.3	|- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) )
iprod.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
iprod.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
iprodap	|- ( ph -> prod_ k e. Z B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )

Distinct variable groups:   B, n, y   k, F   k, M, n, y   k, Z, n, y   ph, k, n, y

Allowed substitution hints:   B( k)   F( y, n)

Proof of Theorem iprodap

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprod.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		zprod.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		zproddc.3	. 2 |- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) )
4		ssidd 3149	. 2 |- ( ph -> Z C_ Z )
5		orc 702	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( j e. Z \/ -. j e. Z ) )
6	5	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j e. Z \/ -. j e. Z ) )
7		df-dc 821	. . . 4 |- (DECID j e. Z <-> ( j e. Z \/ -. j e. Z ) )
8	6, 7	sylibr 133	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> DECID j e. Z )
9	8	ralrimiva 2530	. 2 |- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. Z )
10		iprod.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
11		iftrue 3510	. . . 4 |- ( k e. Z -> if ( k e. Z , B , 1 ) = B )
12	11	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. Z , B , 1 ) = B )
13	10, 12	eqtr4d 2193	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Z , B , 1 ) )
14		iprod.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
15	1, 2, 3, 4, 9, 13, 14	zproddc 11469	1 |- ( ph -> prod_ k e. Z B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   E.wrex 2436   ifcif 3505   class class class wbr 3965   ` cfv 5169   CCcc 7724   0cc0 7726   1c1 7727   x. cmul 7731   # cap 8450   ZZcz 9161   ZZ>=cuz 9433   seqcseq 10337   ~~> cli 11168   prod_cprod 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-proddc 11441

This theorem is referenced by: (None)