Theorem iprodap 12291

Description: Series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprod.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zprod.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zproddc.3	|- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) )
iprod.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
iprod.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
iprodap	|- ( ph -> prod_ k e. Z B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )

Distinct variable groups:   B, n, y   k, F   k, M, n, y   k, Z, n, y   ph, k, n, y

Allowed substitution hints:   B( k)   F( y, n)

Proof of Theorem iprodap

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprod.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		zprod.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		zproddc.3	. 2 |- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) )
4		ssidd 3263	. 2 |- ( ph -> Z C_ Z )
5		orc 720	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( j e. Z \/ -. j e. Z ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j e. Z \/ -. j e. Z ) )
7		df-dc 843	. . . 4 |- (DECID j e. Z <-> ( j e. Z \/ -. j e. Z ) )
8	6, 7	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> DECID j e. Z )
9	8	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. Z )
10		iprod.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
11		iftrue 3631	. . . 4 |- ( k e. Z -> if ( k e. Z , B , 1 ) = B )
12	11	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. Z , B , 1 ) = B )
13	10, 12	eqtr4d 2270	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Z , B , 1 ) )
14		iprod.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
15	1, 2, 3, 4, 9, 13, 14	zproddc 12290	1 |- ( ph -> prod_ k e. Z B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   E.wrex 2523   ifcif 3624   class class class wbr 4114   ` cfv 5357   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   # cap 8872   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   seqcseq 10833   ~~> cli 11988   prod_cprod 12261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-proddc 12262

This theorem is referenced by: (None)