Theorem zprodap0 12092

Description: Nonzero series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprodn0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zprodn0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zprodap0.3	|- ( ph -> X # 0 )
zprodn0.4	|- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> X )
zprodap0.dc	|- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. A )
zprodn0.5	|- ( ph -> A C_ Z )
zprodn0.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
zprodn0.7	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
zprodap0	|- ( ph -> prod_ k e. A B = X )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j   k, F   j, M, k   j, Z, k   ph, j, k

Allowed substitution hints:   B( k)   F( j)   X( j, k)

Proof of Theorem zprodap0

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprodn0.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		zprodn0.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		zprodn0.4	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> X )
4		zprodap0.3	. . . 4 |- ( ph -> X # 0 )
5	1, 2, 3, 4	ntrivcvgap0 12060	. . 3 |- ( ph -> E. m e. Z E. x ( x # 0 /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6		zprodn0.5	. . 3 |- ( ph -> A C_ Z )
7		zprodap0.dc	. . 3 |- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. A )
8		zprodn0.6	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
9		zprodn0.7	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
10	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9	zproddc 12090	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )
11		fclim 11805	. . . 4 |- ~~> : dom ~~> --> CC
12		ffun 5476	. . . 4 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC -> Fun ~~> )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ~~>
14		funbrfv 5670	. . 3 |- ( Fun ~~> -> ( seq M ( x. , F ) ~~> X -> ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) = X ) )
15	13, 3, 14	mpsyl 65	. 2 |- ( ph -> ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) = X )
16	10, 15	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   ifcif 3602   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   Fun wfun 5312   -->wf 5314   ` cfv 5318   CCcc 7997   0cc0 7999   1c1 8000   x. cmul 8004   # cap 8728   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   seqcseq 10669   ~~> cli 11789   prod_cprod 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-proddc 12062

This theorem is referenced by:  iprodap0  12093  prod0  12096  prod1dc  12097