Theorem zprodap0 11584

Description: Nonzero series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprodn0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zprodn0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zprodap0.3	|- ( ph -> X # 0 )
zprodn0.4	|- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> X )
zprodap0.dc	|- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. A )
zprodn0.5	|- ( ph -> A C_ Z )
zprodn0.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
zprodn0.7	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
zprodap0	|- ( ph -> prod_ k e. A B = X )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j   k, F   j, M, k   j, Z, k   ph, j, k

Allowed substitution hints:   B( k)   F( j)   X( j, k)

Proof of Theorem zprodap0

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprodn0.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		zprodn0.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		zprodn0.4	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> X )
4		zprodap0.3	. . . 4 |- ( ph -> X # 0 )
5	1, 2, 3, 4	ntrivcvgap0 11552	. . 3 |- ( ph -> E. m e. Z E. x ( x # 0 /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6		zprodn0.5	. . 3 |- ( ph -> A C_ Z )
7		zprodap0.dc	. . 3 |- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. A )
8		zprodn0.6	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
9		zprodn0.7	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
10	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9	zproddc 11582	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )
11		fclim 11297	. . . 4 |- ~~> : dom ~~> --> CC
12		ffun 5368	. . . 4 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC -> Fun ~~> )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ~~>
14		funbrfv 5554	. . 3 |- ( Fun ~~> -> ( seq M ( x. , F ) ~~> X -> ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) = X ) )
15	13, 3, 14	mpsyl 65	. 2 |- ( ph -> ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) = X )
16	10, 15	eqtrd 2210	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3129   ifcif 3534   class class class wbr 4003   dom cdm 4626   Fun wfun 5210   -->wf 5212   ` cfv 5216   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811   x. cmul 7815   # cap 8536   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526   seqcseq 10442   ~~> cli 11281   prod_cprod 11553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-proddc 11554

This theorem is referenced by:  iprodap0  11585  prod0  11588  prod1dc  11589