Theorem zprodap0 12326

Description: Nonzero series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprodn0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zprodn0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zprodap0.3	|- ( ph -> X # 0 )
zprodn0.4	|- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> X )
zprodap0.dc	|- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. A )
zprodn0.5	|- ( ph -> A C_ Z )
zprodn0.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
zprodn0.7	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
zprodap0	|- ( ph -> prod_ k e. A B = X )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j   k, F   j, M, k   j, Z, k   ph, j, k

Allowed substitution hints:   B( k)   F( j)   X( j, k)

Proof of Theorem zprodap0

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprodn0.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		zprodn0.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		zprodn0.4	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> X )
4		zprodap0.3	. . . 4 |- ( ph -> X # 0 )
5	1, 2, 3, 4	ntrivcvgap0 12294	. . 3 |- ( ph -> E. m e. Z E. x ( x # 0 /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6		zprodn0.5	. . 3 |- ( ph -> A C_ Z )
7		zprodap0.dc	. . 3 |- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. A )
8		zprodn0.6	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
9		zprodn0.7	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
10	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9	zproddc 12324	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )
11		fclim 12038	. . . 4 |- ~~> : dom ~~> --> CC
12		ffun 5531	. . . 4 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC -> Fun ~~> )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ~~>
14		funbrfv 5733	. . 3 |- ( Fun ~~> -> ( seq M ( x. , F ) ~~> X -> ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) = X ) )
15	13, 3, 14	mpsyl 65	. 2 |- ( ph -> ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) = X )
16	10, 15	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ifcif 3635   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   Fun wfun 5366   -->wf 5368   ` cfv 5372   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   # cap 8899   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   seqcseq 10862   ~~> cli 12022   prod_cprod 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-proddc 12296

This theorem is referenced by:  iprodap0  12327  prod0  12330  prod1dc  12331