Theorem zprodap0 11591

Description: Nonzero series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprodn0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zprodn0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zprodap0.3	|- ( ph -> X # 0 )
zprodn0.4	|- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> X )
zprodap0.dc	|- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. A )
zprodn0.5	|- ( ph -> A C_ Z )
zprodn0.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
zprodn0.7	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
zprodap0	|- ( ph -> prod_ k e. A B = X )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j   k, F   j, M, k   j, Z, k   ph, j, k

Allowed substitution hints:   B( k)   F( j)   X( j, k)

Proof of Theorem zprodap0

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprodn0.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		zprodn0.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		zprodn0.4	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> X )
4		zprodap0.3	. . . 4 |- ( ph -> X # 0 )
5	1, 2, 3, 4	ntrivcvgap0 11559	. . 3 |- ( ph -> E. m e. Z E. x ( x # 0 /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6		zprodn0.5	. . 3 |- ( ph -> A C_ Z )
7		zprodap0.dc	. . 3 |- ( ph -> A. j e. Z DECID j e. A )
8		zprodn0.6	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
9		zprodn0.7	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
10	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9	zproddc 11589	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )
11		fclim 11304	. . . 4 |- ~~> : dom ~~> --> CC
12		ffun 5370	. . . 4 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC -> Fun ~~> )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ~~>
14		funbrfv 5556	. . 3 |- ( Fun ~~> -> ( seq M ( x. , F ) ~~> X -> ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) = X ) )
15	13, 3, 14	mpsyl 65	. 2 |- ( ph -> ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) = X )
16	10, 15	eqtrd 2210	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   ifcif 3536   class class class wbr 4005   dom cdm 4628   Fun wfun 5212   -->wf 5214   ` cfv 5218   CCcc 7811   0cc0 7813   1c1 7814   x. cmul 7818   # cap 8540   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   seqcseq 10447   ~~> cli 11288   prod_cprod 11560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561

This theorem is referenced by:  iprodap0  11592  prod0  11595  prod1dc  11596