ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iprodap GIF version

Theorem iprodap 11587
Description: Series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprod.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
zprod.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
zproddc.3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
iprod.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ต)
iprod.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
iprodap (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐น   ๐‘˜,๐‘€,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘›)

Proof of Theorem iprodap
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zprod.1 . 2 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 zprod.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 zproddc.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
4 ssidd 3176 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โŠ† ๐‘)
5 orc 712 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆจ ยฌ ๐‘— โˆˆ ๐‘))
65adantl 277 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆจ ยฌ ๐‘— โˆˆ ๐‘))
7 df-dc 835 . . . 4 (DECID ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆจ ยฌ ๐‘— โˆˆ ๐‘))
86, 7sylibr 134 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ DECID ๐‘— โˆˆ ๐‘)
98ralrimiva 2550 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐‘)
10 iprod.4 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ต)
11 iftrue 3539 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐ต, 1) = ๐ต)
1211adantl 277 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐ต, 1) = ๐ต)
1310, 12eqtr4d 2213 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐ต, 1))
14 iprod.5 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
151, 2, 3, 4, 9, 13, 14zproddc 11586 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  ifcif 3534   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  โ„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   ยท cmul 7815   # cap 8537  โ„คcz 9252  โ„คโ‰ฅcuz 9527  seqcseq 10444   โ‡ cli 11285  โˆcprod 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-proddc 11558
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator