ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iprodap GIF version

Theorem iprodap 11591
Description: Series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprod.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
zprod.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
zproddc.3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
iprod.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ต)
iprod.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
iprodap (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐น   ๐‘˜,๐‘€,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘›)

Proof of Theorem iprodap
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zprod.1 . 2 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 zprod.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 zproddc.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
4 ssidd 3178 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โІ ๐‘)
5 orc 712 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆจ ยฌ ๐‘— โˆˆ ๐‘))
65adantl 277 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆจ ยฌ ๐‘— โˆˆ ๐‘))
7 df-dc 835 . . . 4 (DECID ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆจ ยฌ ๐‘— โˆˆ ๐‘))
86, 7sylibr 134 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ DECID ๐‘— โˆˆ ๐‘)
98ralrimiva 2550 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐‘)
10 iprod.4 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ต)
11 iftrue 3541 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐ต, 1) = ๐ต)
1211adantl 277 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐ต, 1) = ๐ต)
1310, 12eqtr4d 2213 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐ต, 1))
14 iprod.5 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
151, 2, 3, 4, 9, 13, 14zproddc 11590 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  ifcif 3536   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  โ„‚cc 7812  0cc0 7814  1c1 7815   ยท cmul 7819   # cap 8541  โ„คcz 9256  โ„คโ‰ฅcuz 9531  seqcseq 10448   โ‡ cli 11289  โˆcprod 11561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-proddc 11562
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator