Theorem iprodap 11543

Description: Series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprod.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
zprod.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
zproddc.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprod.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
iprod.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iprodap	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛,𝑦   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦   𝜑,𝑘,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem iprodap

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprod.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		zprod.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zproddc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4		ssidd 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝑍)
5		orc 707	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝑍))
6	5	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝑍))
7		df-dc 830	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝑍 ↔ (𝑗 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝑍))
8	6, 7	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → DECID 𝑗 ∈ 𝑍)
9	8	ralrimiva 2543	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑍 DECID 𝑗 ∈ 𝑍)
10		iprod.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
11		iftrue 3531	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1) = 𝐵)
12	11	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1) = 𝐵)
13	10, 12	eqtr4d 2206	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1))
14		iprod.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	1, 2, 3, 4, 9, 13, 14	zproddc 11542	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449  ifcif 3526   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779   # cap 8500  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  seqcseq 10401   ⇝ cli 11241  ∏cprod 11513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514

This theorem is referenced by: (None)