![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > iprodap | GIF version |
Description: Series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
zprod.1 | โข ๐ = (โคโฅโ๐) |
zprod.2 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
zproddc.3 | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ # 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
iprod.4 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ต) |
iprod.5 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ต โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
iprodap | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ ๐ต = ( โ โseq๐( ยท , ๐น))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zprod.1 | . 2 โข ๐ = (โคโฅโ๐) | |
2 | zprod.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
3 | zproddc.3 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ # 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) | |
4 | ssidd 3176 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
5 | orc 712 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (๐ โ ๐ โจ ยฌ ๐ โ ๐)) | |
6 | 5 | adantl 277 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โจ ยฌ ๐ โ ๐)) |
7 | df-dc 835 | . . . 4 โข (DECID ๐ โ ๐ โ (๐ โ ๐ โจ ยฌ ๐ โ ๐)) | |
8 | 6, 7 | sylibr 134 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ DECID ๐ โ ๐) |
9 | 8 | ralrimiva 2550 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ DECID ๐ โ ๐) |
10 | iprod.4 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ต) | |
11 | iftrue 3539 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ if(๐ โ ๐, ๐ต, 1) = ๐ต) | |
12 | 11 | adantl 277 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ if(๐ โ ๐, ๐ต, 1) = ๐ต) |
13 | 10, 12 | eqtr4d 2213 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐, ๐ต, 1)) |
14 | iprod.5 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ต โ โ) | |
15 | 1, 2, 3, 4, 9, 13, 14 | zproddc 11586 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ ๐ต = ( โ โseq๐( ยท , ๐น))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 104 โจ wo 708 DECID wdc 834 = wceq 1353 โwex 1492 โ wcel 2148 โwrex 2456 ifcif 3534 class class class wbr 4003 โcfv 5216 โcc 7808 0cc0 7810 1c1 7811 ยท cmul 7815 # cap 8537 โคcz 9252 โคโฅcuz 9527 seqcseq 10444 โ cli 11285 โcprod 11557 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-isom 5225 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-irdg 6370 df-frec 6391 df-1o 6416 df-oadd 6420 df-er 6534 df-en 6740 df-dom 6741 df-fin 6742 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-inn 8919 df-2 8977 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-q 9619 df-rp 9653 df-fz 10008 df-fzo 10142 df-seqfrec 10445 df-exp 10519 df-ihash 10755 df-cj 10850 df-rsqrt 11006 df-abs 11007 df-clim 11286 df-proddc 11558 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |