Theorem iprodap 11891

Description: Series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprod.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
zprod.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
zproddc.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprod.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
iprod.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iprodap	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛,𝑦   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦   𝜑,𝑘,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem iprodap

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprod.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		zprod.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zproddc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4		ssidd 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝑍)
5		orc 714	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝑍))
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝑗 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝑍))
7		df-dc 837	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ 𝑍 ↔ (𝑗 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑗 ∈ 𝑍))
8	6, 7	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → DECID 𝑗 ∈ 𝑍)
9	8	ralrimiva 2579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑍 DECID 𝑗 ∈ 𝑍)
10		iprod.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
11		iftrue 3576	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1) = 𝐵)
12	11	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1) = 𝐵)
13	10, 12	eqtr4d 2241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1))
14		iprod.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	1, 2, 3, 4, 9, 13, 14	zproddc 11890	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176  ∃wrex 2485  ifcif 3571   class class class wbr 4044  ‘cfv 5271  ℂcc 7923  0cc0 7925  1c1 7926   · cmul 7930   # cap 8654  ℤcz 9372  ℤ_≥cuz 9648  seqcseq 10592   ⇝ cli 11589  ∏cprod 11861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-ihash 10921  df-cj 11153  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590  df-proddc 11862

This theorem is referenced by: (None)