Theorem lenegsq 11107

Description: Comparison to a nonnegative number based on comparison to squares. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lenegsq	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( A <_ B /\ -u A <_ B ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem lenegsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7947	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		abscl 11063	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
3		absge0 11072	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
4	2, 3	jca 306	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
5	1, 4	syl 14	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
6		le2sq 10598	. . . 4 |- ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
7	5, 6	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
8		absle 11101	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
9		lenegcon1 8426	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u A <_ B <-> -u B <_ A ) )
10	9	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u A <_ B /\ A <_ B ) <-> ( -u B <_ A /\ A <_ B ) ) )
11		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( -u A <_ B /\ A <_ B ) <-> ( A <_ B /\ -u A <_ B ) )
12	10, 11	bitr3di 195	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u B <_ A /\ A <_ B ) <-> ( A <_ B /\ -u A <_ B ) ) )
13	8, 12	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( A <_ B /\ -u A <_ B ) ) )
14	13	adantrr 479	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( abs ` A ) <_ B <-> ( A <_ B /\ -u A <_ B ) ) )
15		absresq 11090	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
16	15	breq1d 4015	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
17	16	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
18	7, 14, 17	3bitr3d 218	. 2 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A <_ B /\ -u A <_ B ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
19	18	3impb 1199	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( A <_ B /\ -u A <_ B ) <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   CCcc 7812   RRcr 7813   0cc0 7814   <_ cle 7996   -ucneg 8132   2c2 8973   ^cexp 10522   abscabs 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011

This theorem is referenced by:  sinbnd  11763  cosbnd  11764  4sqlem7  12385