Theorem lenegsq 11780

Description: Comparison to a nonnegative number based on comparison to squares. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lenegsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))

Proof of Theorem lenegsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8260	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 11736	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3		absge0 11745	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
4	2, 3	jca 306	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
6		le2sq 10976	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2)))
7	5, 6	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2)))
8		absle 11774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
9		lenegcon1 8740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))
10	9	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
11		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵))
12	10, 11	bitr3di 195	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵)))
13	8, 12	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵)))
14	13	adantrr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵)))
15		absresq 11763	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
16	15	breq1d 4119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
18	7, 14, 17	3bitr3d 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
19	18	3impb 1226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  ℝcr 8126  0cc0 8127   ≤ cle 8309  -cneg 8445  2c2 9288  ↑cexp 10900  abscabs 11682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684

This theorem is referenced by:  sinbnd  12438  cosbnd  12439  4sqlem7  13082