Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenegsq GIF version

Theorem lenegsq 10874
 Description: Comparison to a nonnegative number based on comparison to squares. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
lenegsq ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴𝐵 ∧ -𝐴𝐵) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))

Proof of Theorem lenegsq
StepHypRef Expression
1 recn 7760 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 abscl 10830 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3 absge0 10839 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
42, 3jca 304 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
51, 4syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
6 le2sq 10374 . . . 4 ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2)))
75, 6sylan 281 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2)))
8 absle 10868 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵𝐴𝐴𝐵)))
9 lenegcon1 8235 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵𝐴))
109anbi1d 460 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴𝐵𝐴𝐵) ↔ (-𝐵𝐴𝐴𝐵)))
11 ancom 264 . . . . . 6 ((-𝐴𝐵𝐴𝐵) ↔ (𝐴𝐵 ∧ -𝐴𝐵))
1210, 11bitr3di 194 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐵𝐴𝐴𝐵) ↔ (𝐴𝐵 ∧ -𝐴𝐵)))
138, 12bitrd 187 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ -𝐴𝐵)))
1413adantrr 470 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ -𝐴𝐵)))
15 absresq 10857 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
1615breq1d 3939 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
1716adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
187, 14, 173bitr3d 217 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴𝐵 ∧ -𝐴𝐵) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
19183impb 1177 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴𝐵 ∧ -𝐴𝐵) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  ℝcr 7626  0cc0 7627   ≤ cle 7808  -cneg 7941  2c2 8778  ↑cexp 10299  abscabs 10776 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778 This theorem is referenced by:  sinbnd  11466  cosbnd  11467
 Copyright terms: Public domain W3C validator