Theorem lenegsq 11260

Description: Comparison to a nonnegative number based on comparison to squares. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lenegsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))

Proof of Theorem lenegsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8012	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 11216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3		absge0 11225	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
4	2, 3	jca 306	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
6		le2sq 10706	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2)))
7	5, 6	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2)))
8		absle 11254	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
9		lenegcon1 8493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))
10	9	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
11		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵))
12	10, 11	bitr3di 195	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵)))
13	8, 12	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵)))
14	13	adantrr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵)))
15		absresq 11243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
16	15	breq1d 4043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((abs‘𝐴)↑2) ≤ (𝐵↑2) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
18	7, 14, 17	3bitr3d 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
19	18	3impb 1201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879   ≤ cle 8062  -cneg 8198  2c2 9041  ↑cexp 10630  abscabs 11162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  sinbnd  11917  cosbnd  11918  4sqlem7  12553