Theorem 4sqlem7 12956

Description: Lemma for 4sq 12982. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem7	|- ( ph -> ( B ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		4sqlem5.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
3		4sqlem5.4	. . . . . . 7 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4	1, 2, 3	4sqlem5 12954	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
5	4	simpld 112	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ZZ )
6	5	zred 9601	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
7	2	nnrpd 9928	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
8	7	rphalfcld 9943	. . . . 5 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR+ )
9	8	rpred 9930	. . . 4 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR )
10	1, 2, 3	4sqlem6 12955	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
11	10	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> B < ( M / 2 ) )
12	6, 9, 11	ltled 8297	. . 3 |- ( ph -> B <_ ( M / 2 ) )
13	10	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> -u ( M / 2 ) <_ B )
14	9, 6, 13	lenegcon1d 8706	. . 3 |- ( ph -> -u B <_ ( M / 2 ) )
15	8	rpge0d 9934	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( M / 2 ) )
16		lenegsq 11655	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( M / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( M / 2 ) ) -> ( ( B <_ ( M / 2 ) /\ -u B <_ ( M / 2 ) ) <-> ( B ^ 2 ) <_ ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) )
17	6, 9, 15, 16	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( ( B <_ ( M / 2 ) /\ -u B <_ ( M / 2 ) ) <-> ( B ^ 2 ) <_ ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) )
18	12, 14, 17	mpbi2and 951	. 2 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) <_ ( ( M / 2 ) ^ 2 ) )
19		2cnd 9215	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. CC )
20	19	sqvald 10931	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 ) )
21	20	oveq2d 6033	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
22	2	nncnd 9156	. . . 4 |- ( ph -> M e. CC )
23		2ap0 9235	. . . . 5 |- 2 # 0
24	23	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 # 0 )
25	22, 19, 24	sqdivapd 10947	. . 3 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
26	22	sqcld 10932	. . . 4 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
27	26, 19, 19, 24, 24	divdivap1d 9001	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
28	21, 25, 27	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
29	18, 28	breqtrd 4114	1 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   -ucneg 8350   # cap 8760   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   ZZcz 9478   mod cmo 10583   ^cexp 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559

This theorem is referenced by:  4sqlem15  12977  4sqlem16  12978  2sqlem8  15851