ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4sqlem7 Unicode version

Theorem 4sqlem7 12323
Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem7  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem7
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 4sqlem5.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 4sqlem5.4 . . . . . . 7  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
41, 2, 34sqlem5 12321 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
54simpld 111 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
65zred 9321 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
72nnrpd 9638 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
87rphalfcld 9653 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  RR+ )
98rpred 9640 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
101, 2, 34sqlem6 12322 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
1110simprd 113 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  <  ( M  /  2 ) )
126, 9, 11ltled 8025 . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  ( M  /  2 ) )
1310simpld 111 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
2 )  <_  B
)
149, 6, 13lenegcon1d 8433 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u B  <_  ( M  /  2 ) )
158rpge0d 9644 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  /  2 ) )
16 lenegsq 11046 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( M  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( M  / 
2 ) )  -> 
( ( B  <_ 
( M  /  2
)  /\  -u B  <_ 
( M  /  2
) )  <->  ( B ^ 2 )  <_ 
( ( M  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
176, 9, 15, 16syl3anc 1233 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  <_ 
( M  /  2
)  /\  -u B  <_ 
( M  /  2
) )  <->  ( B ^ 2 )  <_ 
( ( M  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
1812, 14, 17mpbi2and 938 . 2  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  <_  ( ( M  /  2 ) ^
2 ) )
19 2cnd 8938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
2019sqvald 10593 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 ) )
2120oveq2d 5866 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
222nncnd 8879 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
23 2ap0 8958 . . . . 5  |-  2 #  0
2423a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  2 #  0 )
2522, 19, 24sqdivapd 10609 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
2622sqcld 10594 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
2726, 19, 19, 24, 24divdivap1d 8726 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2821, 25, 273eqtr4d 2213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
2918, 28breqtrd 4013 1  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   RRcr 7760   0cc0 7761    + caddc 7764    x. cmul 7766    < clt 7941    <_ cle 7942    - cmin 8077   -ucneg 8078   # cap 8487    / cdiv 8576   NNcn 8865   2c2 8916   ZZcz 9199    mod cmo 10265   ^cexp 10462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950
This theorem is referenced by:  2sqlem8  13712
  Copyright terms: Public domain W3C validator