Theorem 4sqlem7 12310

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem7	|- ( ph -> ( B ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		4sqlem5.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
3		4sqlem5.4	. . . . . . 7 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4	1, 2, 3	4sqlem5 12308	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
5	4	simpld 111	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ZZ )
6	5	zred 9309	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
7	2	nnrpd 9626	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
8	7	rphalfcld 9641	. . . . 5 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR+ )
9	8	rpred 9628	. . . 4 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR )
10	1, 2, 3	4sqlem6 12309	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
11	10	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> B < ( M / 2 ) )
12	6, 9, 11	ltled 8013	. . 3 |- ( ph -> B <_ ( M / 2 ) )
13	10	simpld 111	. . . 4 |- ( ph -> -u ( M / 2 ) <_ B )
14	9, 6, 13	lenegcon1d 8421	. . 3 |- ( ph -> -u B <_ ( M / 2 ) )
15	8	rpge0d 9632	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( M / 2 ) )
16		lenegsq 11033	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( M / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( M / 2 ) ) -> ( ( B <_ ( M / 2 ) /\ -u B <_ ( M / 2 ) ) <-> ( B ^ 2 ) <_ ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) )
17	6, 9, 15, 16	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> ( ( B <_ ( M / 2 ) /\ -u B <_ ( M / 2 ) ) <-> ( B ^ 2 ) <_ ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) )
18	12, 14, 17	mpbi2and 933	. 2 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) <_ ( ( M / 2 ) ^ 2 ) )
19		2cnd 8926	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. CC )
20	19	sqvald 10581	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 ) )
21	20	oveq2d 5857	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
22	2	nncnd 8867	. . . 4 |- ( ph -> M e. CC )
23		2ap0 8946	. . . . 5 |- 2 # 0
24	23	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 # 0 )
25	22, 19, 24	sqdivapd 10597	. . 3 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
26	22	sqcld 10582	. . . 4 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
27	26, 19, 19, 24, 24	divdivap1d 8714	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
28	21, 25, 27	3eqtr4d 2208	. 2 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
29	18, 28	breqtrd 4007	1 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841   RRcr 7748   0cc0 7749   + caddc 7752   x. cmul 7754   < clt 7929   <_ cle 7930   - cmin 8065   -ucneg 8066   # cap 8475   / cdiv 8564   NNcn 8853   2c2 8904   ZZcz 9187   mod cmo 10253   ^cexp 10450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937

This theorem is referenced by:  2sqlem8  13559