Theorem 4sqlem7 12323

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem7	|- ( ph -> ( B ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		4sqlem5.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
3		4sqlem5.4	. . . . . . 7 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4	1, 2, 3	4sqlem5 12321	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
5	4	simpld 111	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ZZ )
6	5	zred 9321	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
7	2	nnrpd 9638	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
8	7	rphalfcld 9653	. . . . 5 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR+ )
9	8	rpred 9640	. . . 4 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR )
10	1, 2, 3	4sqlem6 12322	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
11	10	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> B < ( M / 2 ) )
12	6, 9, 11	ltled 8025	. . 3 |- ( ph -> B <_ ( M / 2 ) )
13	10	simpld 111	. . . 4 |- ( ph -> -u ( M / 2 ) <_ B )
14	9, 6, 13	lenegcon1d 8433	. . 3 |- ( ph -> -u B <_ ( M / 2 ) )
15	8	rpge0d 9644	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( M / 2 ) )
16		lenegsq 11046	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( M / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( M / 2 ) ) -> ( ( B <_ ( M / 2 ) /\ -u B <_ ( M / 2 ) ) <-> ( B ^ 2 ) <_ ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) )
17	6, 9, 15, 16	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ph -> ( ( B <_ ( M / 2 ) /\ -u B <_ ( M / 2 ) ) <-> ( B ^ 2 ) <_ ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) )
18	12, 14, 17	mpbi2and 938	. 2 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) <_ ( ( M / 2 ) ^ 2 ) )
19		2cnd 8938	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. CC )
20	19	sqvald 10593	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 ) )
21	20	oveq2d 5866	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
22	2	nncnd 8879	. . . 4 |- ( ph -> M e. CC )
23		2ap0 8958	. . . . 5 |- 2 # 0
24	23	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 # 0 )
25	22, 19, 24	sqdivapd 10609	. . 3 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
26	22	sqcld 10594	. . . 4 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
27	26, 19, 19, 24, 24	divdivap1d 8726	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
28	21, 25, 27	3eqtr4d 2213	. 2 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
29	18, 28	breqtrd 4013	1 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   RRcr 7760   0cc0 7761   + caddc 7764   x. cmul 7766   < clt 7941   <_ cle 7942   - cmin 8077   -ucneg 8078   # cap 8487   / cdiv 8576   NNcn 8865   2c2 8916   ZZcz 9199   mod cmo 10265   ^cexp 10462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950

This theorem is referenced by:  2sqlem8  13712