ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mappsrprg GIF version

Theorem mappsrprg 7619
Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mappsrprg ((𝐴P𝐶R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))

Proof of Theorem mappsrprg
StepHypRef Expression
1 1pr 7369 . . . . 5 1PP
2 addclpr 7352 . . . . 5 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
31, 1, 2mp2an 422 . . . 4 (1P +P 1P) ∈ P
4 ltaddpr 7412 . . . 4 (((1P +P 1P) ∈ P𝐴P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
53, 4mpan 420 . . 3 (𝐴P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
65adantr 274 . 2 ((𝐴P𝐶R) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
7 df-m1r 7548 . . . . . 6 -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
87breq1i 3936 . . . . 5 (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
91a1i 9 . . . . . 6 (𝐴P → 1PP)
103a1i 9 . . . . . 6 (𝐴P → (1P +P 1P) ∈ P)
11 id 19 . . . . . 6 (𝐴P𝐴P)
12 ltsrprg 7562 . . . . . 6 (((1PP ∧ (1P +P 1P) ∈ P) ∧ (𝐴P ∧ 1PP)) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
139, 10, 11, 9, 12syl22anc 1217 . . . . 5 (𝐴P → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
148, 13syl5bb 191 . . . 4 (𝐴P → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
1514adantr 274 . . 3 ((𝐴P𝐶R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
16 m1r 7567 . . . 4 -1RR
17 opelxpi 4571 . . . . . . 7 ((𝐴P ∧ 1PP) → ⟨𝐴, 1P⟩ ∈ (P × P))
18 enrex 7552 . . . . . . . 8 ~R ∈ V
1918ecelqsi 6483 . . . . . . 7 (⟨𝐴, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
2017, 19syl 14 . . . . . 6 ((𝐴P ∧ 1PP) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
211, 20mpan2 421 . . . . 5 (𝐴P → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
22 df-nr 7542 . . . . 5 R = ((P × P) / ~R )
2321, 22eleqtrrdi 2233 . . . 4 (𝐴P → [⟨𝐴, 1P⟩] ~RR)
24 simpr 109 . . . 4 ((𝐴P𝐶R) → 𝐶R)
25 ltasrg 7585 . . . 4 ((-1RR ∧ [⟨𝐴, 1P⟩] ~RR𝐶R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
2616, 23, 24, 25mp3an2ani 1322 . . 3 ((𝐴P𝐶R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
2715, 26bitr3d 189 . 2 ((𝐴P𝐶R) → ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
286, 27mpbid 146 1 ((𝐴P𝐶R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480  cop 3530   class class class wbr 3929   × cxp 4537  (class class class)co 5774  [cec 6427   / cqs 6428  Pcnp 7106  1Pc1p 7107   +P cpp 7108  <P cltp 7110   ~R cer 7111  Rcnr 7112  -1Rcm1r 7115   +R cplr 7116   <R cltr 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-pli 7120  df-mi 7121  df-lti 7122  df-plpq 7159  df-mpq 7160  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-plqqs 7164  df-mqqs 7165  df-1nqqs 7166  df-rq 7167  df-ltnqqs 7168  df-enq0 7239  df-nq0 7240  df-0nq0 7241  df-plq0 7242  df-mq0 7243  df-inp 7281  df-i1p 7282  df-iplp 7283  df-iltp 7285  df-enr 7541  df-nr 7542  df-plr 7543  df-ltr 7545  df-m1r 7548
This theorem is referenced by:  map2psrprg  7620  suplocsrlemb  7621  suplocsrlem  7623
  Copyright terms: Public domain W3C validator