Theorem mappsrprg 8017

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mappsrprg	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))

Proof of Theorem mappsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7767	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 7750	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 7810	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
5	3, 4	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
7		df-m1r 7946	. . . . . 6 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
8	7	breq1i 4093	. . . . 5 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
9	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ∈ P)
10	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P) ∈ P)
11		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ P)
12		ltsrprg 7960	. . . . . 6 ⊢ (((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
13	9, 10, 11, 9, 12	syl22anc 1272	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
14	8, 13	bitrid 192	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
16		m1r 7965	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
17		opelxpi 4755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨𝐴, 1P⟩ ∈ (P × P))
18		enrex 7950	. . . . . . . 8 ⊢ ~R ∈ V
19	18	ecelqsi 6753	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐴, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
20	17, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
21	1, 20	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
22		df-nr 7940	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
23	21, 22	eleqtrrdi 2323	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R)
24		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
25		ltasrg 7983	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
26	16, 23, 24, 25	mp3an2ani 1378	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
27	15, 26	bitr3d 190	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
28	6, 27	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086   × cxp 4721  (class class class)co 6013  [cec 6695   / cqs 6696  Pcnp 7504  1_Pc1p 7505   +_P cpp 7506  <_P cltp 7508   ~_R cer 7509  Rcnr 7510  -1_Rcm1r 7513   +_R cplr 7514   <_R cltr 7516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7517  df-pli 7518  df-mi 7519  df-lti 7520  df-plpq 7557  df-mpq 7558  df-enq 7560  df-nqqs 7561  df-plqqs 7562  df-mqqs 7563  df-1nqqs 7564  df-rq 7565  df-ltnqqs 7566  df-enq0 7637  df-nq0 7638  df-0nq0 7639  df-plq0 7640  df-mq0 7641  df-inp 7679  df-i1p 7680  df-iplp 7681  df-iltp 7683  df-enr 7939  df-nr 7940  df-plr 7941  df-ltr 7943  df-m1r 7946

This theorem is referenced by:  map2psrprg  8018  suplocsrlemb  8019  suplocsrlem  8021