Theorem mappsrprg 7636

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mappsrprg	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))

Proof of Theorem mappsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7386	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 7369	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 7429	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
5	3, 4	mpan 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
6	5	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
7		df-m1r 7565	. . . . . 6 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
8	7	breq1i 3944	. . . . 5 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
9	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ∈ P)
10	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P) ∈ P)
11		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ P)
12		ltsrprg 7579	. . . . . 6 ⊢ (((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
13	9, 10, 11, 9, 12	syl22anc 1218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
14	8, 13	syl5bb 191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
15	14	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
16		m1r 7584	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
17		opelxpi 4579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨𝐴, 1P⟩ ∈ (P × P))
18		enrex 7569	. . . . . . . 8 ⊢ ~R ∈ V
19	18	ecelqsi 6491	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐴, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
20	17, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
21	1, 20	mpan2 422	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
22		df-nr 7559	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
23	21, 22	eleqtrrdi 2234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R)
24		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
25		ltasrg 7602	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
26	16, 23, 24, 25	mp3an2ani 1323	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
27	15, 26	bitr3d 189	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
28	6, 27	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3535   class class class wbr 3937   × cxp 4545  (class class class)co 5782  [cec 6435   / cqs 6436  Pcnp 7123  1_Pc1p 7124   +_P cpp 7125  <_P cltp 7127   ~_R cer 7128  Rcnr 7129  -1_Rcm1r 7132   +_R cplr 7133   <_R cltr 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-0nq0 7258  df-plq0 7259  df-mq0 7260  df-inp 7298  df-i1p 7299  df-iplp 7300  df-iltp 7302  df-enr 7558  df-nr 7559  df-plr 7560  df-ltr 7562  df-m1r 7565

This theorem is referenced by:  map2psrprg  7637  suplocsrlemb  7638  suplocsrlem  7640