Theorem mappsrprg 8115

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mappsrprg	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))

Proof of Theorem mappsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7865	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 7848	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 7908	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
5	3, 4	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
7		df-m1r 8044	. . . . . 6 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
8	7	breq1i 4115	. . . . 5 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
9	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ∈ P)
10	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P) ∈ P)
11		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ P)
12		ltsrprg 8058	. . . . . 6 ⊢ (((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
13	9, 10, 11, 9, 12	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
14	8, 13	bitrid 192	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
16		m1r 8063	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
17		opelxpi 4780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨𝐴, 1P⟩ ∈ (P × P))
18		enrex 8048	. . . . . . . 8 ⊢ ~R ∈ V
19	18	ecelqsi 6822	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐴, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
20	17, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
21	1, 20	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
22		df-nr 8038	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
23	21, 22	eleqtrrdi 2326	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R)
24		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
25		ltasrg 8081	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
26	16, 23, 24, 25	mp3an2ani 1381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
27	15, 26	bitr3d 190	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
28	6, 27	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108   × cxp 4746  (class class class)co 6049  [cec 6764   / cqs 6765  Pcnp 7602  1_Pc1p 7603   +_P cpp 7604  <_P cltp 7606   ~_R cer 7607  Rcnr 7608  -1_Rcm1r 7611   +_R cplr 7612   <_R cltr 7614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-eprel 4409  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7615  df-pli 7616  df-mi 7617  df-lti 7618  df-plpq 7655  df-mpq 7656  df-enq 7658  df-nqqs 7659  df-plqqs 7660  df-mqqs 7661  df-1nqqs 7662  df-rq 7663  df-ltnqqs 7664  df-enq0 7735  df-nq0 7736  df-0nq0 7737  df-plq0 7738  df-mq0 7739  df-inp 7777  df-i1p 7778  df-iplp 7779  df-iltp 7781  df-enr 8037  df-nr 8038  df-plr 8039  df-ltr 8041  df-m1r 8044

This theorem is referenced by:  map2psrprg  8116  suplocsrlemb  8117  suplocsrlem  8119